Principio de Mínima Acción y Euler-Lagrange

1. Preliminares Matemáticos

Antes de abordar la mecánica, repasemos las herramientas matemáticas esenciales. Esta sección está dedicada a quienes deseen repasar el manejo de funciones de varias variables, los distintos tipos de derivadas y el concepto de funcional.

Funciones de una variable

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ derivable. Su derivada se define como:

$$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

La diferencial de $f$ es $df = f'(x)\,dx$. Mide el cambio lineal aproximado de la función ante un cambio infinitesimal $dx$.

Funciones de varias variables

Sea $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. La derivada parcial respecto a $x_i$ se obtiene derivando como si las demás variables fueran constantes:

$$ \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,\ldots,x_i+h,\ldots,x_n) - f(x_1,\ldots,x_n)}{h} $$

La derivada total respecto al tiempo, cuando cada variable depende de $t$ (es decir, $x_i = x_i(t)$), se calcula mediante la regla de la cadena multivariable:

$$ \frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{dx_i}{dt} $$

Diferencial total

El cambio infinitesimal de $f$ cuando cada variable sufre una variación $dx_i$ es:

$$ df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n $$

Concepto de funcional

Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ toma un número y devuelve un número. Un funcional $S: \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ toma una función completa $q(t)$ y devuelve un número.

$$ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\big(q(t), \dot{q}(t), t\big)\,dt $$

$S[q]$ depende de toda la curva $q(t)$, no de un punto particular. La $\mathcal{L}$ es una función común (la lagrangiana), pero la integral sobre ella produce un funcional (la acción).

Variación de un funcional

Dada una curva $q(t)$, consideramos otra curva $q(t) + \delta q(t)$ con $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$ (extremos fijos). La variación de $S$ es:

$$ \delta S = S[q + \delta q] - S[q] \quad \text{(despreciando términos de orden superior)} $$

2. Coordenadas Generalizadas

Un sistema de $N$ partículas en 3D tiene $3N$ coordenadas cartesianas. Pero si existen $k$ ligaduras holonómicas (ecuaciones que restringen el movimiento), el número de grados de libertad se reduce a $s = 3N - k$.

Definición

Cualquier conjunto de $s$ parámetros independientes $q_1, q_2, \ldots, q_s$ que determinan unívocamente la configuración del sistema se denominan coordenadas generalizadas.

Sus derivadas temporales $\dot{q}_1, \dot{q}_2, \ldots, \dot{q}_s$ son las velocidades generalizadas.

El conjunto de todas las configuraciones posibles forma el espacio de configuración, una variedad de dimensión $s$. La evolución del sistema describe una curva (trayectoria) en dicho espacio.

Ejemplos: para un péndulo simple ($s=1$), $q = \theta$ (ángulo). Para una partícula en el plano sin ligaduras ($s=2$), $q_1 = x$, $q_2 = y$ o alternativamente $q_1 = r$, $q_2 = \theta$.

3. El Principio de Mínima Acción

La formulación más general de la mecánica clásica se basa en el Principio de Hamilton (o de mínima acción):

La función de Lagrange $\mathcal{L}$

Un sistema mecánico se caracteriza por una función $\mathcal{L}(q_1,\ldots,q_s,\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_s,t)$ que depende de las coordenadas, las velocidades generalizadas y el tiempo.

Para sistemas conservativos: $\mathcal{L} = T - V$, donde $T$ es la energía cinética y $V$ la potencial.

$$ \mathcal{S}[q] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\big(q(t), \dot{q}(t), t\big)\,dt $$

Principio de Mínima Acción (Hamilton)

Entre todos los caminos posibles que conectan la configuración inicial $q(t_1)$ con la final $q(t_2)$, el sistema sigue aquel que extremiza (usualmente minimiza) la acción $\mathcal{S}$:

$$ \delta \mathcal{S} = 0 \quad \text{(variación primera nula)} $$

Este principio es más fundamental que las leyes de Newton: toda la mecánica clásica puede derivarse de él. Las ecuaciones de movimiento emergen como condición necesaria para que la acción sea estacionaria.

4. Derivación de las Ecuaciones de Euler-Lagrange

A continuación se presenta la derivación paso a paso. Para simplificar la notación trabajamos con un solo grado de libertad $q(t)$; la extensión a $s$ grados de libertad es directa.

$$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\big(q(t), \dot{q}(t), t\big)\,dt$$

Paso 0: La acción es la integral temporal de la lagrangiana.

$$\mathcal{L}(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q},t) = \mathcal{L}(q,\dot{q},t) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\delta q + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q} + \mathcal{O}(\delta^2)$$

Paso 1: Expandimos la lagrangiana en serie de Taylor de primer orden alrededor de la trayectoria $q(t)$. Los términos de orden superior se desprecian.

$$\delta\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\delta q + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\right)dt$$

Paso 2: La variación de la acción $\delta\mathcal{S}$ es la integral del término de primer orden.

$$\delta\dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)$$

Paso 3: La variación de la velocidad generalizada es la derivada temporal de la variación de la coordenada. La variación $\delta$ y la derivada $d/dt$ conmutan.

$$\delta\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\delta q\,dt + \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\frac{d}{dt}(\delta q)\,dt$$

Paso 4: Sustituimos $\delta\dot{q}$ en la integral.

$$\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\frac{d}{dt}(\delta q)\,dt = \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)\delta q\,dt$$

Paso 5: Integración por partes del segundo término: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ con $u = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}$ y $dv = \frac{d}{dt}(\delta q)dt$.

$$\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta q\right]_{t_1}^{t_2} = 0$$

Paso 6: Los extremos están fijos: la variación se anula en $t_1$ y $t_2$. El término de frontera desaparece.

$$\delta\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} - \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)\right]\delta q\,dt$$

Paso 7: Agrupamos ambos términos dentro de la integral.

$$\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\eta(t)\,dt = 0\;\; \forall\eta \text{ (arbitraria con }\eta(t_1)=\eta(t_2)=0\text{)} \;\Longrightarrow\; f(t) \equiv 0$$

Paso 8 — Lema fundamental del cálculo de variaciones: Si una función continua $f(t)$ integrada contra cualquier función de prueba $\eta(t)$ da siempre cero, entonces $f(t)$ es idénticamente nula.

$$\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q} = 0$$

Paso 9 — ¡Ecuación de Euler-Lagrange! Como $\delta q$ es arbitraria, el integrando debe anularse. Esta es la ecuación fundamental de la mecánica clásica.

$$\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = 0 \qquad (i = 1, 2, \ldots, s)$$

Paso 10: La generalización a $s$ grados de libertad nos da un sistema de $s$ ecuaciones diferenciales de segundo orden.

5. Derivadas Parciales y Totales en Euler-Lagrange

Un punto crucial que suele generar confusión: en la ecuación de Euler-Lagrange aparecen dos tipos de derivadas con significados muy distintos.

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}$ — Derivada parcial

Se calcula tratando $\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)$ como función de variables independientes. Derivamos respecto a $q$ manteniendo $\dot{q}$ y $t$ constantes.

$\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)$ — Derivada total respecto al tiempo

Primero calculamos $\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}$ como derivada parcial (tratando $q$, $\dot{q}$, $t$ como independientes). Luego, al resultado le aplicamos la derivada total $d/dt$, considerando ahora que todo depende de $t$:

$$ \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right) = \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}^2}\ddot{q} + \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}\partial q}\dot{q} + \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial\dot{q}\partial t} $$

En síntesis: al derivar parcialmente tratamos las variables como independientes. Al derivar totalmente, aplicamos la regla de la cadena porque todo depende de $t$ a lo largo de la trayectoria.

6. El Principio de Relatividad de Galileo

Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual el espacio es homogéneo e isótropo y el tiempo es uniforme. En un sistema inercial, una partícula libre (sin fuerzas) se mueve con velocidad constante.

Transformación de Galileo

Si $K'$ se mueve con velocidad constante $\mathbf{V}$ respecto a $K$, las coordenadas se transforman como:

$$ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \mathbf{V}t, \qquad t' = t $$

El tiempo es absoluto en la mecánica clásica (no se transforma).

Principio de relatividad de Galileo

Las leyes de la mecánica son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales. Equivalentemente: las ecuaciones de movimiento deben ser invariantes bajo transformaciones de Galileo.

Esto implica que la lagrangiana $\mathcal{L}$ puede cambiar a lo sumo en una derivada total respecto al tiempo de una función de coordenadas y tiempo: $\mathcal{L}' = \mathcal{L} + \frac{d}{dt}f(\mathbf{r}, t)$. Dicha adición no modifica las ecuaciones de Euler-Lagrange.

7. Lagrangiana de una Partícula Libre

Usando la homogeneidad del espacio (la lagrangiana no puede depender de $\mathbf{r}$), la isotropía (no puede depender de la dirección de $\mathbf{v}$) y el principio de relatividad de Galileo, Landau deduce la forma de la lagrangiana de una partícula libre.

Resultado (Landau §4)

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\,m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) $$

Donde $m$ es una constante positiva característica de la partícula: su masa. La aditividad de la masa para sistemas de partículas se sigue del principio de superposición.

Aplicando Euler-Lagrange: $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\mathbf{r}} = 0$, $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\mathbf{r}}} = m\dot{\mathbf{r}}$. Entonces $\frac{d}{dt}(m\dot{\mathbf{r}}) = 0$, es decir $m\ddot{\mathbf{r}} = 0$. La partícula libre se mueve con velocidad constante (Primera Ley de Newton).

8. Lagrangiana de un Sistema de Partículas

Si tenemos $N$ partículas sin interacción, la lagrangiana del sistema es la suma de las lagrangianas individuales (principio de superposición):

$$ \mathcal{L} = \sum_{a=1}^{N} \frac{1}{2}\,m_a\,v_a^2 $$

Para incluir la interacción entre partículas, añadimos una función $-V(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N)$ que depende solo de las posiciones:

$$ \mathcal{L} = \sum_{a=1}^{N} \frac{1}{2}\,m_a\,v_a^2 - V(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots, \mathbf{r}_N) $$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para la partícula $a$ dan:

$$ m_a \ddot{\mathbf{r}}_a = -\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_a} = \mathbf{F}_a $$

¡Hemos recuperado la Segunda Ley de Newton! La fuerza $\mathbf{F}_a$ es el gradiente negativo del potencial. La hipótesis de interacción instantánea (newtoniana) implica que el potencial solo depende de las posiciones en el mismo instante, no de las velocidades ni de tiempos anteriores.

9. Ejemplos de Obtención de Ecuaciones de Movimiento

Partícula libre en coordenadas polares

En coordenadas polares: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. La energía cinética es $T = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)$. Para una partícula libre $V = 0$, así que:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}\,m\,(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) $$

Aplicando Euler-Lagrange para $r$ y $\theta$ obtenemos:

$$ \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 0, \qquad \frac{d}{dt}(m r^2 \dot{\theta}) = 0 $$

La segunda ecuación expresa la conservación del momento angular: $mr^2\dot{\theta} = \text{constante}$.

Péndulo simple

Una masa $m$ suspendida de una cuerda de longitud $\ell$. La coordenada generalizada es el ángulo $\theta$. La energía cinética es $T = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2$ y la potencial $V = -mg\ell\cos\theta$ (tomando el punto más bajo como referencia).

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta $$

$$ \ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 $$

Partícula en campo gravitatorio uniforme

Para una partícula en caída libre cerca de la superficie terrestre: $\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{z}^2 - mgz$. Euler-Lagrange da:

$$ m\ddot{z} + mg = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot{z} = -g $$

Integrando: $z(t) = z_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$, la conocida ecuación del tiro vertical.

10. Test Final

11. Certificado

Certificado de Conocimientos

Principio de Mínima Acción y Ecuaciones de Euler-Lagrange

Ha completado satisfactoriamente la evaluación

Prof. Mariano Miguel Lanzi