Mecánica Cuántica

La Ecuación de Schrödinger y la Función de Onda

Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Introducción a la Mecánica Cuántica

La mecánica cuántica es la rama de la física que describe el comportamiento de la materia y la energía a escalas atómicas y subatómicas. A diferencia de la mecánica clásica, donde las partículas tienen trayectorias bien definidas, en mecánica cuántica el estado de un sistema se describe mediante una función de onda.

¿Por qué se necesita la mecánica cuántica?

La física clásica no puede explicar fenómenos como:

  • La radiación del cuerpo negro (catástrofe ultravioleta)
  • El efecto fotoeléctrico
  • Los espectros atómicos discretos
  • La estabilidad de los átomos
  • El efecto túnel
  • La dualidad onda-partícula

Dualidad Onda-Partícula

Louis de Broglie propuso en 1924 que toda partícula con momento \(p\) tiene asociada una longitud de onda:

\[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \]

donde \(h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}\) es la constante de Planck, \(m\) es la masa y \(v\) la velocidad de la partícula.

Principio de Incertidumbre de Heisenberg

No es posible conocer simultáneamente con precisión arbitraria la posición y el momento de una partícula:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

donde \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\) es la constante de Planck reducida (o constante de Dirac).

2. Contexto Histórico

1900 - Max Planck introduce la cuantización de la energía para resolver el problema del cuerpo negro: \(E = nh\nu\)
1905 - Einstein explica el efecto fotoeléctrico proponiendo que la luz consiste en cuantos (fotones): \(E = h\nu\)
1913 - Niels Bohr propone su modelo atómico con órbitas cuantizadas
1924 - Louis de Broglie propone la dualidad onda-partícula
1925 - Heisenberg formula la mecánica matricial
1926 - Erwin Schrödinger publica su ecuación de onda, estableciendo la mecánica ondulatoria
1926 - Max Born da la interpretación probabilística de la función de onda
1927 - Heisenberg enuncia el principio de incertidumbre
1928 - Dirac formula la ecuación relativista del electrón

3. La Función de Onda \(\Psi\)

La función de onda \(\Psi(\vec{r}, t)\) es una función compleja que contiene toda la información sobre el estado cuántico de un sistema. No es directamente observable, pero su módulo al cuadrado tiene significado físico.

Interpretación de Born

La densidad de probabilidad de encontrar la partícula en la posición \(\vec{r}\) en el tiempo \(t\) es:

\[ P(\vec{r}, t) = |\Psi(\vec{r}, t)|^2 = \Psi^*(\vec{r}, t) \cdot \Psi(\vec{r}, t) \]

Condición de Normalización

Como la partícula debe encontrarse en algún lugar del espacio, la probabilidad total debe ser 1:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(\vec{r}, t)|^2 \, d^3r = 1 \]

Propiedades de la Función de Onda

Requisitos matemáticos

  • Continua
  • Derivable (al menos por tramos)
  • De cuadrado integrable
  • Monovaluada
  • Finita en todo punto

Propiedades físicas

  • Contiene toda la información del sistema
  • Es una función compleja en general
  • Satisface el principio de superposición
  • Su evolución temporal es determinista
  • El resultado de una medición es probabilístico

Valores Esperados

El valor esperado (promedio) de un observable \(A\) representado por el operador \(\hat{A}\) es:

\[ \langle A \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi^* \hat{A} \, \Psi \, d^3r \]

4. Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo

La ecuación fundamental que gobierna la evolución temporal de un sistema cuántico es:

\[ i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\vec{r}, t) \]

donde \(\hat{H}\) es el operador Hamiltoniano del sistema. Para una partícula de masa \(m\) en un potencial \(V(\vec{r}, t)\):

\[ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V(\vec{r}, t) \Psi \]

En una dimensión:

\[ i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t) \Psi(x,t) \]

Características de la Ecuación

Propiedades fundamentales

  • Lineal: Si \(\Psi_1\) y \(\Psi_2\) son soluciones, entonces \(c_1\Psi_1 + c_2\Psi_2\) también lo es (principio de superposición)
  • Determinista: Dado \(\Psi(\vec{r}, 0)\), el estado futuro queda completamente determinado
  • De primer orden en el tiempo: Solo se necesita la condición inicial \(\Psi(\vec{r}, 0)\)
  • Conserva la norma: Si \(\Psi\) está normalizada en \(t=0\), lo estará para todo \(t\)
  • Unitaria: La evolución temporal preserva el producto interno

El Operador Hamiltoniano

El Hamiltoniano representa la energía total del sistema:

\[ \hat{H} = \hat{T} + \hat{V} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}, t) \]

donde \(\hat{T}\) es la energía cinética y \(\hat{V}\) la energía potencial.

Densidad de Corriente de Probabilidad

La conservación de la probabilidad se expresa mediante la ecuación de continuidad:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{J} = 0 \]

donde \(\rho = |\Psi|^2\) y la corriente de probabilidad es:

\[ \vec{J} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*\right) \]

5. Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo

Cuando el potencial no depende del tiempo, \(V = V(\vec{r})\), se puede separar variables:

\[ \Psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r}) \cdot \phi(t) = \psi(\vec{r}) \, e^{-iEt/\hbar} \]

La parte espacial satisface la ecuación de valores propios:

\[ \hat{H}\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r}) \]

Explícitamente:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r}) + V(\vec{r})\psi(\vec{r}) = E\psi(\vec{r}) \]

En una dimensión:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \]

Estados Estacionarios

Propiedades de los estados estacionarios

  • La densidad de probabilidad \(|\Psi|^2 = |\psi|^2\) no depende del tiempo
  • Los valores esperados de los observables son constantes
  • La energía tiene un valor bien definido \(E\)
  • Son los estados de energía definida (autoestados de \(\hat{H}\))

Solución General

La solución general de la ecuación dependiente del tiempo se escribe como superposición:

\[ \Psi(\vec{r}, t) = \sum_n c_n \psi_n(\vec{r}) e^{-iE_n t/\hbar} \]

donde los coeficientes \(c_n\) se determinan por la condición inicial y satisfacen \(\sum_n |c_n|^2 = 1\).

6. Operadores en Mecánica Cuántica

En mecánica cuántica, cada observable físico se representa mediante un operador hermítico (autoadjunto). La correspondencia entre observables clásicos y operadores cuánticos se obtiene mediante las reglas de cuantización canónica.

Tabla de Operadores Fundamentales

Observable Símbolo Clásico Operador Cuántico
Posición \(x\) \(\hat{x} = x\)
Momento lineal \(p_x\) \(\hat{p}_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)
Energía cinética \(\frac{p^2}{2m}\) \(\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\)
Energía potencial \(V(x)\) \(\hat{V} = V(\hat{x})\)
Hamiltoniano \(H = T + V\) \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\)
Momento angular \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) \(\hat{\vec{L}} = -i\hbar(\vec{r} \times \nabla)\)
Energía \(E\) \(\hat{E} = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\)

Relaciones de Conmutación

El conmutador de dos operadores se define como:

\[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \]

Relaciones fundamentales:

\[ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar \qquad [\hat{x}, \hat{p}_y] = 0 \]
\[ [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar\hat{L}_z \qquad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar\hat{L}_x \qquad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar\hat{L}_y \]
Nota: Si dos operadores conmutan (\([\hat{A}, \hat{B}] = 0\)), los observables correspondientes pueden medirse simultáneamente con precisión arbitraria. Si no conmutan, existe una relación de incertidumbre entre ellos.

7. Aplicaciones Fundamentales

7.1 Partícula Libre

Para \(V(x) = 0\), la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \]

Solución: \(\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}\) con \(k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)

La energía no está cuantizada (espectro continuo): \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)

7.2 Partícula en una Caja (Pozo Infinito)

Potencial: \(V(x) = 0\) para \(0 < x < L\), \(V = \infty\) fuera.

Condiciones de frontera: \(\psi(0) = \psi(L) = 0\)

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \]
\[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} = n^2 E_1 \]

Características importantes:

  • La energía está cuantizada (\(n = 1, 2, 3, \ldots\))
  • Existe una energía mínima \(E_1 \neq 0\) (energía del punto cero)
  • Las funciones de onda son ortogonales: \(\int_0^L \psi_m^* \psi_n \, dx = \delta_{mn}\)
  • Forman un conjunto completo (base del espacio de Hilbert)

7.3 Oscilador Armónico Cuántico

Potencial: \(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\)

\[ E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right) \qquad n = 0, 1, 2, \ldots \]

Los niveles de energía están igualmente espaciados con separación \(\hbar\omega\). La energía del punto cero es \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\).

Las funciones de onda involucran los polinomios de Hermite \(H_n\):

\[ \psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(\xi) \, e^{-\xi^2/2} \]

donde \(\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} \, x\)

7.4 Barrera de Potencial y Efecto Túnel

Una partícula con energía \(E < V_0\) puede atravesar una barrera de potencial de altura \(V_0\) y ancho \(a\). El coeficiente de transmisión aproximado es:

\[ T \approx e^{-2\kappa a} \qquad \text{donde} \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \]

7.5 Átomo de Hidrógeno

Potencial coulombiano: \(V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}\)

Los niveles de energía son:

\[ E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \]

Las funciones de onda se caracterizan por tres números cuánticos \((n, l, m_l)\):

\[ \psi_{nlm}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \cdot Y_l^{m_l}(\theta, \phi) \]

donde \(R_{nl}\) son funciones radiales y \(Y_l^{m_l}\) son armónicos esféricos.

Números cuánticos

  • \(n = 1, 2, 3, \ldots\) (principal)
  • \(l = 0, 1, \ldots, n-1\) (azimutal)
  • \(m_l = -l, \ldots, +l\) (magnético)
  • \(m_s = \pm\frac{1}{2}\) (espín)

Degeneración

Cada nivel \(n\) tiene degeneración \(g_n = 2n^2\) (incluyendo espín).

Para \(n=1\): 2 estados

Para \(n=2\): 8 estados

Para \(n=3\): 18 estados

8. Postulados de la Mecánica Cuántica

Postulado 1 - Estado del sistema

El estado de un sistema cuántico queda completamente descrito por una función de onda \(\Psi(\vec{r}, t)\) perteneciente al espacio de Hilbert \(\mathcal{H}\).

Postulado 2 - Observables

A cada observable físico le corresponde un operador lineal hermítico \(\hat{A}\) que actúa sobre el espacio de Hilbert.

Postulado 3 - Mediciones

Los únicos resultados posibles de la medición de un observable \(A\) son los valores propios \(a_n\) del operador \(\hat{A}\): \(\hat{A}|a_n\rangle = a_n|a_n\rangle\)

Postulado 4 - Probabilidad

La probabilidad de obtener el valor propio \(a_n\) al medir \(A\) en el estado \(|\Psi\rangle\) es: \(P(a_n) = |\langle a_n | \Psi \rangle|^2\)

Postulado 5 - Colapso de la función de onda

Inmediatamente después de una medición que da como resultado \(a_n\), el sistema se encuentra en el estado propio \(|a_n\rangle\) correspondiente.

Postulado 6 - Evolución temporal

La evolución temporal del estado está gobernada por la ecuación de Schrödinger: \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle = \hat{H}|\Psi(t)\rangle\)

9. Demostraciones Fundamentales

9.1 Conservación de la Probabilidad

Partiendo de la ecuación de Schrödinger y su conjugada, se demuestra que la probabilidad total se conserva en el tiempo. La densidad de probabilidad es \(\rho = |\Psi|^2 = \Psi^*\Psi\).

Derivando respecto al tiempo:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi + \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial t} \]

Usando la ecuación de Schrödinger:

\[ \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m}\nabla^2\Psi - \frac{i}{\hbar}V\Psi \]
\[ \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} = -\frac{i\hbar}{2m}\nabla^2\Psi^* + \frac{i}{\hbar}V\Psi^* \]

Sustituyendo se obtiene la ecuación de continuidad:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{J} = 0 \quad \text{con} \quad \vec{J} = \frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*) \]

Integrando en todo el espacio y usando el teorema de la divergencia, con \(\Psi \to 0\) en el infinito:

\[ \frac{d}{dt}\int |\Psi|^2 d^3r = 0 \quad \Rightarrow \quad \int |\Psi|^2 d^3r = \text{constante} \]

9.2 Deducción de la Ecuación de Schrödinger

Schrödinger se inspiró en la analogía entre óptica y mecánica. Partiendo de la relación de De Broglie \(p = \hbar k\) y la energía \(E = \hbar\omega\), para una partícula libre:

\[ E = \frac{p^2}{2m} \quad \Rightarrow \quad \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \]

Para una onda plana \(\Psi = Ae^{i(kx - \omega t)}\):

\[ i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hbar\omega\Psi = E\Psi, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi \]

Igualando y generalizando a un potencial arbitrario \(V(x)\), se obtiene la ecuación completa:

\[ i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V(x)\Psi \]

9.3 Ortogonalidad de las Funciones Propias

Las funciones propias del Hamiltoniano correspondientes a distintos valores propios son ortogonales. Demostración: sean \(\psi_m\) y \(\psi_n\) con energías \(E_m \neq E_n\):

\[ \hat{H}\psi_m = E_m\psi_m, \qquad \hat{H}\psi_n = E_n\psi_n \]

Como \(\hat{H}\) es hermítico: \(\langle \psi_m|\hat{H}\psi_n \rangle = \langle \hat{H}\psi_m|\psi_n \rangle\). Esto implica:

\[ E_n\langle \psi_m|\psi_n \rangle = E_m\langle \psi_m|\psi_n \rangle \quad \Rightarrow \quad (E_n - E_m)\langle \psi_m|\psi_n \rangle = 0 \]

Si \(E_m \neq E_n\), entonces \(\langle \psi_m|\psi_n \rangle = 0\). Las funciones pueden normalizarse para formar un conjunto ortonormal: \(\langle \psi_m|\psi_n \rangle = \delta_{mn}\).

10. Notación de Dirac y Espacio de Hilbert

10.1 Bras y Kets

La notación de Dirac simplifica enormemente los cálculos en mecánica cuántica. Un estado se representa como un ket:

\[ |\Psi\rangle = \text{vector de estado en el espacio de Hilbert } \mathcal{H} \]

El espacio dual está formado por los bras:

\[ \langle \Psi| = \text{covector en el espacio dual } \mathcal{H}^* \]

Producto interno y norma

El producto interno (bracket) entre dos estados:

\[ \langle \phi | \Psi \rangle = \int \phi^*(\vec{r}) \Psi(\vec{r}) \, d^3r \]

Norma: \( \|\Psi\|^2 = \langle \Psi | \Psi \rangle \)

10.2 Operadores de Proyección

Para una base ortonormal \(\{|n\rangle\}\):

\[ \hat{P}_n = |n\rangle\langle n| \]

La probabilidad de encontrar el sistema en el estado \(|n\rangle\) es:

\[ P(n) = \langle \Psi | \hat{P}_n | \Psi \rangle = |\langle n | \Psi \rangle|^2 \]

10.3 Relación de Cierre

El conjunto completo de autoestados de un observable satisface la relación de cierre (completitud):

\[ \sum_n |n\rangle\langle n| = \mathbb{I} \]

10.4 Expansión en Base Propia

Cualquier estado puede expandirse en la base de autoestados de un observable:

\[ |\Psi\rangle = \sum_n |n\rangle\langle n|\Psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle \]

donde \(c_n = \langle n|\Psi\rangle\) son las amplitudes de probabilidad y \(|c_n|^2\) las probabilidades.

10.5 Notación de Dirac para Operadores

Un operador se expresa en una base como:

\[ \hat{A} = \sum_{m,n} |m\rangle \langle m|\hat{A}|n\rangle \langle n| = \sum_{m,n} A_{mn} |m\rangle\langle n| \]

donde \(A_{mn} = \langle m|\hat{A}|n\rangle\) son los elementos de matriz.

11. Operadores Escalera y Espín

11.1 Operadores de Creación y Aniquilación

Para el oscilador armónico cuántico se definen los operadores escalera adimensionales:

\[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right), \qquad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right) \]

Propiedades fundamentales:

\[ [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1, \qquad \hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \qquad \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle \]

11.2 Operador Número y Hamiltoniano

El operador número \(\hat{N} = \hat{a}^\dagger\hat{a}\) cuenta los cuantos de excitación:

\[ \hat{N}|n\rangle = n|n\rangle, \qquad \hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right) \]

11.3 Construcción de los Estados

El estado base \(|0\rangle\) se define por \(\hat{a}|0\rangle = 0\). Los estados excitados se construyen aplicando \(\hat{a}^\dagger\):

\[ |n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle \]

11.4 El Espín del Electrón

El espín es un momento angular intrínseco sin análogo clásico. Para el electrón, el número cuántico de espín es \(s = 1/2\).

Los operadores de espín se expresan mediante las matrices de Pauli:

\[ \hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\hat{\sigma}_i, \qquad i = x, y, z \]
MatrizExpresión
\(\sigma_x\)\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_y\)\(\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_z\)\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Propiedades de las matrices de Pauli:

\[ [\sigma_i, \sigma_j] = 2i\varepsilon_{ijk}\sigma_k, \qquad \{\sigma_i, \sigma_j\} = 2\delta_{ij}\mathbb{I}, \qquad \sigma_i^2 = \mathbb{I} \]

Los autoestados de \(\hat{S}_z\) son:

\[ \hat{S}_z|\uparrow\rangle = +\frac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle, \qquad \hat{S}_z|\downarrow\rangle = -\frac{\hbar}{2}|\downarrow\rangle \]
Principio de exclusión de Pauli: Dos electrones en un mismo sistema no pueden tener los cuatro números cuánticos iguales. Esto surge de la antisimetría de la función de onda fermiónica bajo intercambio de partículas.

9. Notas Originales de Clase

A continuación se muestran las notas manuscritas originales sobre la ecuación de Schrödinger:

Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10 Nota 11

12. Descargar Material

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13. Evaluación - Preguntas y Respuestas

Pon a prueba tus conocimientos sobre la ecuación de Schrödinger y mecánica cuántica:

Pregunta 1: ¿Qué representa físicamente \(|\Psi(x,t)|^2\)?

Pregunta 2: La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es:

Pregunta 3: ¿Cuál es la energía del estado base de una partícula en una caja de longitud L?

Pregunta 4: El principio de incertidumbre de Heisenberg establece que:

Pregunta 5: El operador momento lineal en la representación de posición es:

Pregunta 6: Los niveles de energía del oscilador armónico cuántico son:

Pregunta 7: ¿Qué condición debe cumplir la función de onda?

Pregunta 8: La relación de conmutación canónica \([\hat{x}, \hat{p}]\) es igual a:

Pregunta 9: La energía del nivel n del átomo de hidrógeno es:

Pregunta 10: ¿Qué sucede con la función de onda tras una medición?

Pregunta 11: ¿Qué es el efecto túnel?

Pregunta 12: La hipótesis de De Broglie establece que:

Pregunta 13: ¿Cuántos números cuánticos se necesitan para describir completamente el estado de un electrón en el átomo de hidrógeno?

Pregunta 14: El principio de superposición en mecánica cuántica implica que:

Pregunta 15: Un operador hermítico garantiza que:

Pregunta 16: La ecuación de continuidad en mecánica cuántica establece que:

Pregunta 17: En notación de Dirac, la relación de cierre para una base ortonormal \(|n\rangle\) es:

Pregunta 18: ¿Cómo se expresa la probabilidad de encontrar un sistema en el estado \(|n\rangle\) usando notación de Dirac?

Pregunta 19: ¿Qué hacen los operadores de creación \(\hat{a}^\dagger\)?

Pregunta 20: El conmutador \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger]\) para los operadores escalera del oscilador armónico vale:

Pregunta 21: Las funciones propias del Hamiltoniano con distintos autovalores son:

Pregunta 22: Las matrices de Pauli satisfacen que \(\sigma_i^2\) es igual a:

Pregunta 23: Los autoestados de \(\hat{S}_z\) para una partícula de espín 1/2 son:

Pregunta 24: Schrödinger dedujo su ecuación inspirándose en la analogía entre:

Pregunta 25: El principio de exclusión de Pauli establece que:

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