Espacios Vectoriales
1. ¿Qué es un Vector?
Definición clásica (geométrica)
En geometría y física, un vector se define como un segmento orientado caracterizado por tres atributos:
- Módulo (o magnitud): la longitud del segmento.
- Dirección: la recta sobre la que se encuentra.
- Sentido: hacia cuál de los dos extremos de la recta apunta.
En el plano, $\vec{v} = (v_x, v_y)$. En el espacio, $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$. Esta definición es útil para física y geometría analítica. Pero es insuficiente para el álgebra lineal moderna.
Definición moderna (abstracta)
Un vector es todo elemento de un espacio vectorial
En el álgebra lineal moderna, el concepto de vector es completamente abstracto. Un vector no es, en esencia, una flecha ni una $n$-upla de números, sino un elemento de un espacio vectorial. La naturaleza de dicho elemento depende del espacio considerado.
Un vector puede ser: un número real, una $n$-upla, una matriz, un polinomio, una función, una sucesión, una solución de una ecuación diferencial, o cualquier otro objeto matemático —siempre que el conjunto al que pertenece, junto con sus operaciones de suma y producto por escalares, satisfaga los axiomas de espacio vectorial.
Esta definición rompe la asociación "vector = flecha" y abre la puerta a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional.
2. Definición Rigurosa de Espacio Vectorial
Definición
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo (por ejemplo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ es un conjunto $V \neq \emptyset$ dotado de dos operaciones:
- Suma vectorial: $+: V \times V \to V$, $(u, v) \mapsto u + v$
- Producto por escalar: $\cdot: \mathbb{K} \times V \to V$, $(\alpha, v) \mapsto \alpha v$
que satisfacen 8 axiomas. Los elementos de $V$ se denominan vectores.
Para entender completamente esta definición, necesitamos dos piezas: los axiomas del cuerpo $\mathbb{K}$ y los axiomas del espacio $V$. Vamos a construirlos paso a paso.
3. El Cuerpo $\mathbb{K}$ — Axiomas de los Escalares
El cuerpo $\mathbb{K}$ (típicamente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) es el conjunto de "escalares" que multiplican a los vectores. Debe satisfacer axiomas para dos operaciones: suma y multiplicación.
3.1 Axiomas de $(\mathbb{K}; +)$ — Grupo Abeliano Aditivo
3.2 Axiomas de $(\mathbb{K}\setminus\{0\}; \cdot)$ — Grupo Abeliano Multiplicativo
3.3 Propiedad Distributiva (conecta + y ·)
Un conjunto $\mathbb{K}$ con estas 11 propiedades es un cuerpo. Los ejemplos canónicos son $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Q}$. También los cuerpos finitos $\mathbb{Z}_p$ (con $p$ primo).
4. $(V;+)$ como Grupo Abeliano — Axiomas de la Suma Vectorial
La suma de vectores debe convertir a $V$ en un grupo abeliano. Estos son los primeros 4 axiomas del espacio vectorial:
Aclaración importante
El neutro aditivo $\vec{0}$ de $V$ (vector nulo) no es lo mismo que el $0$ del cuerpo $\mathbb{K}$. Son objetos de distinta naturaleza: uno es un vector, el otro un escalar. La notación es la misma por simplicidad, pero conceptualmente son distintos.
5. Ley Externa — Producto por Escalares
Los siguientes 3 axiomas gobiernan la interacción entre escalares (de $\mathbb{K}$) y vectores (de $V$):
A7 (Asociatividad mixta): multiplicar por $\beta$ y luego por $\alpha$ es lo mismo que multiplicar directamente por $\alpha\beta$. Conecta el producto de escalares con el producto por escalar.
A8 y A9 (Distributivas): la primera distribuye el escalar sobre la suma vectorial; la segunda distribuye la suma de escalares sobre el vector. Son leyes distintas: una involucra dos operaciones en $V$, la otra dos operaciones en $\mathbb{K}$.
A10 (Neutro externo): el neutro multiplicativo del cuerpo, $1_{\mathbb{K}}$, deja invariante a cualquier vector. Garantiza que los escalares "no rompan" la estructura vectorial.
Resumen de los 10 axiomas
| Axioma | Nombre |
|---|---|
| A1 | Cierre de la suma vectorial |
| A2 | Asociatividad de la suma |
| A3 | Existencia del vector nulo $\vec{0}$ |
| A4 | Existencia del vector opuesto |
| A5 | Conmutatividad de la suma |
| A6 | Cierre del producto por escalar |
| A7 | Asociatividad mixta |
| A8 | Distributiva del escalar sobre suma vectorial |
| A9 | Distributiva de suma de escalares sobre vector |
| A10 | Neutro externo ($1_{\mathbb{K}}\cdot v = v$) |
6. Ejemplos: ¿Qué Puede Ser un Vector?
La potencia de la definición abstracta es que cualquier conjunto que satisfaga los 10 axiomas es un espacio vectorial. Veamos ejemplos concretos:
| Espacio Vectorial | Un "Vector" es... | Suma | Producto por escalar |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{R}^n$ | Una $n$-upla $(x_1,\ldots,x_n)$ | Componente a componente | Componente a componente |
| $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ | Una matriz $m \times n$ | Suma de matrices | Multiplicación por escalar |
| $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ | Un polinomio de grado $\leq n$ | Suma de polinomios | Multiplicación por escalar |
| $\mathcal{C}[a,b]$ | Una función continua en $[a,b]$ | $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ | $(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$ |
| $\ell^2$ | Una sucesión $(a_n)$ con $\sum |a_n|^2<\infty$ | $(a_n)+(b_n)=(a_n+b_n)$ | $\alpha(a_n)=(\alpha a_n)$ |
Una matriz es un vector. Un polinomio es un vector. Una función continua es un vector. Todos ellos pertenecen a conjuntos que, con las operaciones adecuadas, satisfacen los 10 axiomas. La abstracción lo unifica todo bajo un mismo paraguas conceptual.
Un vector no es una flecha: es un rol
Ser "vector" no es una propiedad intrínseca del objeto. Es un rol que el objeto desempeña dentro de un espacio vectorial. La misma matriz puede ser un vector (en $M_{m\times n}$) o un operador lineal (cuando actúa sobre otro vector). Lo que determina su naturaleza es el contexto algebraico.
7. La Cadena de Inclusiones — Del Espacio Vectorial al Espacio de Hilbert
Un espacio vectorial es la estructura más básica. Al agregarle propiedades adicionales, obtenemos estructuras cada vez más ricas:
Espacio Normado
Un espacio vectorial $V$ al que se le define una norma $\|\cdot\|$ que satisface: $\|v\|\geq 0$, $\|\alpha v\|=|\alpha|\|v\|$, $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$. La norma mide la "longitud" de los vectores.
Espacio Pre-Hilbert (con producto interno)
Un espacio vectorial $V$ dotado de un producto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$. El producto interno induce una norma mediante $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$. No toda norma proviene de un producto interno (solo las que satisfacen la ley del paralelogramo).
Espacio de Banach
Un espacio normado que es completo: toda sucesión de Cauchy converge a un elemento del espacio. Los espacios $\mathbb{R}^n$, $\ell^p$ y $\mathcal{C}[a,b]$ con la norma del supremo son espacios de Banach.
Espacio de Hilbert
Un espacio pre-Hilbert que es completo respecto de la métrica inducida por la norma. Es la estructura fundamental de la mecánica cuántica. $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}^n$, $\ell^2$ y $L^2$ son espacios de Hilbert.
Jerarquía completa
$$ \text{Espacio Vectorial} \supset \begin{cases} \text{Espacio Normado} \supset \text{Espacio de Banach} \\ \text{Espacio Pre-Hilbert} \supset \text{Espacio de Hilbert} \end{cases} $$
Todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach (porque todo espacio con producto interno es normado, y la completitud se hereda). Pero no todo espacio de Banach es de Hilbert (puede carecer de producto interno).
8. Test Final
9. Certificado
Certificado de Conocimientos
Espacios Vectoriales — Definición Rigurosa de Vector
Ha completado satisfactoriamente la evaluación
Prof. Mariano Miguel Lanzi