Teoría de Funciones

Dominio, Codominio, Imagen, Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Dominio y Codominio de una Función

Una función $f: A \to B$ es una regla de correspondencia que a cada elemento $x$ del conjunto $A$ le asigna exactamente un elemento $y$ del conjunto $B$.

Definición Formal

Una función $f: A \to B$ satisface:

  • $\forall x \in A, \; \exists!\, y \in B : f(x) = y$
  • $f \subseteq A \times B$ es una relación tal que $(x,y) \in f \land (x,z) \in f \implies y = z$
$$ f: A \to B, \quad f(x) = y $$

El conjunto $A$ se denomina dominio de la función, y el conjunto $B$ se denomina codominio. Es importante notar que el codominio es parte de la definición de la función — dos funciones con la misma regla pero distinto codominio son funciones diferentes.

Ejemplo: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^2$. Aquí $A = \mathbb{R}$ es el dominio y $B = \mathbb{R}$ es el codominio.

2. Imagen o Rango de una Función

La imagen (o rango) de una función $f: A \to B$ es el conjunto de todos los valores que realmente toma la función:

$$ \operatorname{Im}(f) = \{ f(x) \in B \mid x \in A \} \subseteq B $$

Diferencia clave: Codominio vs Imagen

El codominio $B$ es el conjunto de "llegada" declarado en la definición de la función. La imagen $\operatorname{Im}(f)$ es el conjunto de valores que la función realmente alcanza. Siempre se cumple $\operatorname{Im}(f) \subseteq B$.

Para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^2$, el codominio es $\mathbb{R}$, pero la imagen es $[0, \infty)$ porque los cuadrados nunca son negativos.

$$ \operatorname{Im}(x^2) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq 0 \} = [0, \infty) $$

3. Inyectividad

Una función $f: A \to B$ es inyectiva (o uno a uno) si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas:

$$ \forall x_1, x_2 \in A : \; f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 $$

Equivalentemente, por contraposición:

$$ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) $$

Ejemplos

Inyectiva: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 1$ (recta con pendiente no nula).

No inyectiva: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^2$, porque $f(-2) = f(2) = 4$.

4. Sobreyectividad

Una función $f: A \to B$ es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio:

$$ \forall y \in B, \; \exists\, x \in A : f(x) = y $$

Esto equivale a decir que la imagen coincide con el codominio: $\operatorname{Im}(f) = B$.

Ejemplos

Sobreyectiva: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^3$ (todo real tiene raíz cúbica).

No sobreyectiva: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^2$, porque los negativos nunca son $f(x)$.

5. Biyectividad

Definición

Una función $f: A \to B$ es biyectiva si es inyectiva Y sobreyectiva simultáneamente.

Una función biyectiva establece una correspondencia perfecta "uno a uno" entre $A$ y $B$. Toda función biyectiva tiene una función inversa $f^{-1}: B \to A$ bien definida.

$$ f \text{ es biyectiva} \iff (\forall y \in B, \; \exists!\, x \in A : f(x) = y) $$

Ejemplos: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 1$ es biyectiva. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^3$ es biyectiva. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^2$ NO es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva).

6. Visualización Interactiva

Explorá los conceptos visualmente. Elegí una función y mové el valor de $x$ para ver cómo se comporta.

Dominio Imagen Codominio
x = 2

7. Redefinir Funciones para que sean Biyectivas

Una misma regla de correspondencia puede volverse biyectiva restringiendo adecuadamente el dominio y el codominio. Probá con los controles de abajo.

¿Cómo hacer biyectiva una función?

Para lograr biyectividad debemos garantizar simultáneamente:

  • Inyectividad: restringir el dominio para que $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$
  • Sobreyectividad: ajustar el codominio para que coincida exactamente con la imagen
Dominio restringido Imagen = Codominio (si biyectiva)
Dom: [ , ] Cod: [ , ]
Inyectiva: ? Sobreyectiva: ? Biyectiva: ?

8. Cuestionario

1. Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2$. ¿Cuál es su imagen?

2. ¿Qué significa que $f: A \to B$ sea inyectiva?

3. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 1$ ¿es sobreyectiva?

4. La imagen de una función $f: A \to B$ siempre cumple:

5. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^3$ es:

6. ¿Por qué $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^2$ no es inyectiva?

7. Una función es sobreyectiva si y solo si:

8. Sea $g: \{1,2,3\} \to \{a,b\}$ con $g(1)=a,\ g(2)=a,\ g(3)=b$. ¿Qué propiedades tiene?

9. Para que $f$ sea biyectiva debe cumplirse:

10. Una función constante $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = c$ es: