Teorema de Green y Planímetro
1. Introducción
El Teorema de Green es uno de los pilares del cálculo vectorial. Establece una equivalencia entre una integral de línea sobre una curva cerrada y una integral doble sobre la región que encierra. Es, en esencia, el análogo bidimensional del Teorema Fundamental del Cálculo:
Una de sus aplicaciones más fascinantes es el cálculo del área de una figura conociendo únicamente su contorno. Esto es exactamente lo que hace un planímetro: un instrumento mecánico que mide el área de una región simplemente recorriendo su borde.
Idea clave
Si elegimos un campo vectorial $\mathbf{F} = (P, Q)$ cuyo rotor sea constante $1$, entonces:
$\text{Área}(D) = \iint_D 1\,dA = \iint_D \text{rot}\,\mathbf{F}\,dA = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
¡El área se reduce a recorrer el borde!
2. Enunciado del Teorema de Green
Teorema de Green
Sea $D \subset \mathbb{R}^2$ una región limitada por una curva simple, cerrada y suave a trozos $C = \partial D$, orientada positivamente (en sentido antihorario, dejando la región $D$ a la izquierda).
Si $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ son funciones con derivadas parciales continuas en un abierto que contiene a $D$, entonces:
La expresión $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ es la componente $z$ del rotor (o rotacional) del campo vectorial $\mathbf{F} = (P, Q)$ en el plano:
Por tanto, el teorema puede escribirse de forma compacta como:
La orientación positiva significa que al recorrer la curva $C$, la región $D$ queda siempre a nuestra izquierda. Para una región simplemente conexa, esto equivale al sentido antihorario.
3. Demostración del Teorema de Green
Demostraremos el teorema para regiones que son simultáneamente de Tipo I y de Tipo II (regiones simples). La demostración se divide en dos partes:
Sumando (1) y (2) se obtiene el teorema completo.
Parte 1: Demostración de $\displaystyle \iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,dA = -\oint_C P\,dx$
Paso 1: Expresamos $D$ como región de Tipo I (proyectable sobre el eje $x$):
donde $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son funciones continuas en $[a,b]$ con $\varphi_1(x) \leq \varphi_2(x)$.
Paso 2: Calculamos la integral doble del lado izquierdo. Por el Teorema de Fubini, integramos primero respecto de $y$ y luego respecto de $x$:
Paso 3: Aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo a la integral interior (en $y$):
Sustituyendo:
Paso 4: Ahora calculamos la integral de línea $\oint_C P\,dx$ recorriendo la frontera. La curva $C$ se compone de cuatro tramos:
| Tramo | Descripción | Parametrización | $dx$ |
|---|---|---|---|
| $C_1$ (inferior) | $y = \varphi_1(x)$ | $(x, \varphi_1(x)),\; a \to b$ | $dx$ |
| $C_2$ (derecho) | vertical en $x=b$ | $(b, t),\; \varphi_1(b) \to \varphi_2(b)$ | $0$ |
| $C_3$ (superior) | $y = \varphi_2(x)$ | $(x, \varphi_2(x)),\; b \to a$ | $dx$ |
| $C_4$ (izquierdo) | vertical en $x=a$ | $(a, t),\; \varphi_2(a) \to \varphi_1(a)$ | $0$ |
En los tramos verticales $C_2$ y $C_4$, la coordenada $x$ es constante, por lo que $dx = 0$. Dichos tramos no contribuyen a la integral de $P\,dx$:
En $C_1$ (sentido $a \to b$):
En $C_3$ (sentido $b \to a$, opuesto a $C_1$):
Sumando los cuatro tramos:
Paso 5: Comparando con el resultado de la integral doble:
¡Queda demostrada la primera parte! $\square$
Parte 2: Demostración de $\displaystyle \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x}\,dA = \oint_C Q\,dy$
Esta parte es completamente análoga, pero expresando $D$ como región de Tipo II (proyectable sobre el eje $y$):
Integrando primero en $x$ y aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo:
Para la integral de línea $\oint_C Q\,dy$, los tramos horizontales de $C$ (donde $y$ es constante) tienen $dy = 0$. Los tramos izquierdo y derecho se parametrizan con $x$ en función de $y$:
Paso final: Sumando las dos partes:
4. Campo Vectorial de Rotor Constante
Para calcular el área de una región $D$ necesitamos un campo vectorial $\mathbf{F} = (P, Q)$ cuyo rotor sea exactamente $1$ en todo punto:
Existen infinitos campos que cumplen esta condición. El más simple y simétrico es:
Campo de rotor unitario
Verifiquemos:
$P(x,y) = -\dfrac{y}{2}$, por lo que $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{2}$
$Q(x,y) = \dfrac{x}{2}$, por lo que $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{2}$
$\displaystyle \text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 \;\checkmark$
Este campo tiene una interpretación geométrica: en cada punto $(x,y)$, el vector $\mathbf{F}(x,y) = (-\frac{y}{2}, \frac{x}{2})$ es perpendicular al vector posición $(x,y)$ y su magnitud es proporcional a la distancia al origen. Las líneas de flujo son círculos concéntricos alrededor del origen.
5. Cálculo de Áreas por Integral de Línea
Aplicando el Teorema de Green con el campo de rotor unitario:
Sustituyendo $P = -y/2$ y $Q = x/2$:
Fórmula del Área (Green)
Esta fórmula es notable: el área de una región se obtiene recorriendo únicamente su frontera. No hace falta integrar sobre toda la superficie. Si la curva $C$ está parametrizada por $(x(t), y(t))$ con $t \in [0, 1]$, la fórmula en forma paramétrica es:
Ejemplo: Área del círculo de radio $R$
Parametrizamos: $x(t) = R\cos t,\; y(t) = R\sin t,\; t \in [0, 2\pi]$
$x'(t) = -R\sin t,\; y'(t) = R\cos t$
6. El Planímetro
El planímetro es un instrumento mecánico inventado en 1814 por Johann Martin Hermann que permite medir el área de una figura plana simplemente recorriendo su contorno con un puntero. Su funcionamiento es una materialización directa del Teorema de Green.
6.1. Componentes del planímetro polar
El planímetro polar (el más común) consta de:
- Brazo polar: fijo en un extremo (el polo o anclaje) y articulado en el otro.
- Brazo trazador: unido al brazo polar por una articulación, termina en un puntero (lupa con cruz).
- Rueda medidora: montada sobre el brazo trazador, gira cuando el puntero se desplaza. Su eje es paralelo al brazo trazador.
- Contador: disco graduado que registra las vueltas de la rueda.
6.2. Principio matemático
La clave está en que la rueda solo mide el desplazamiento perpendicular al brazo trazador. Matemáticamente, la rotación infinitesimal $d\theta$ de la rueda es proporcional a la componente del desplazamiento $d\mathbf{r}$ del puntero en la dirección perpendicular al brazo:
Al recorrer la curva cerrada $C$, la rotación total de la rueda es:
El factor de escala se determina por calibración (midiendo un área conocida). Así, el área es directamente proporcional a la lectura del contador de la rueda.
6.3. ¿Por qué funciona?
El brazo trazador forma un ángulo $\phi$ con el brazo polar. El desplazamiento infinitesimal del puntero $\mathbf{dr}$ tiene una componente perpendicular al brazo trazador, que es la que mide la rueda. Al integrar sobre toda la curva cerrada, el Teorema de Green transforma esa integral de línea en el área encerrada.
Las contribuciones del movimiento del brazo polar se cancelan al cerrar la curva (por ser un campo conservativo en ese grado de libertad). Lo que queda es exactamente la integral $\frac{1}{2}\oint (x\,dy - y\,dx)$, es decir, el área.
7. Visualización Interactiva
Dibujá puntos en el canvas para formar un polígono cerrado. El área se calcula usando la fórmula de Green. Cuantos más puntos, mejor la aproximación.