The Critical Value of 1

Explorá el límite $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(a+\frac{1}{n}\right)^n$ y descubrí por qué $a=1$ lo cambia todo
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Explorador Interactivo

Mové el deslizador de $a$ y observá cómo el límite cambia drásticamente al cruzar $a = 1$. Para $a < 1$ el límite es $0$, en $a = 1$ es $e \approx 2.71828$, y para $a > 1$ diverge a $+\infty$.

a =
Calculando...

Explicación

2. Gráfico $f(a)=\left(a+\frac{1}{500}\right)^{500}$

Escala logarítmica en el eje Y. La línea dorada marca $a=1$, el valor crítico.

3. Demostración por Casos

Caso $0 < a < 1$ (el límite es $0$)

Si $a < 1$, para $n$ suficientemente grande se tiene $\frac{1}{n} < 1 - a$. Por ejemplo, si $a = 0.98$, basta con $n > 50$ para que $\frac{1}{n} < 0.02$, y entonces $a + \frac{1}{n} < 0.99 < 1$.

$$ 0 < \left(a + \frac{1}{n}\right)^n < c^n \quad\text{con}\quad c < 1 $$

Como $c^n \to 0$ cuando $n \to \infty$ (cualquier número entre $0$ y $1$ elevado a una potencia creciente tiende a $0$), el Teorema del Sandwich garantiza que el límite es $0$.

Caso $a = 1$ (el límite es $e$)

$$ \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $$

Este es uno de los límites fundamentales del cálculo y la definición misma del número $e$. Su demostración mediante el binomio de Newton se desarrolla en la siguiente sección.

Caso $a > 1$ (el límite es $+\infty$)

Si $a > 1$, entonces $a + \frac{1}{n} > a > 1$. Por lo tanto:

$$ \left(a + \frac{1}{n}\right)^n > a^n $$

Y como $a^n \to \infty$ para cualquier $a > 1$, la sucesión de la izquierda —que es aún mayor— también diverge a $+\infty$.

4. Demostración de $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ por Binomio de Newton

Desarrollamos $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ usando el teorema del binomio:

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k}\left(\frac{1}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} $$

Paso 1: Aplicamos el binomio de Newton. Los términos con $1^{n-k}$ no afectan.

$$ \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k} $$

Paso 2: Expandimos el coeficiente binomial: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$$ = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n} $$

Paso 3: Distribuimos $n^k$ entre los $k$ factores del numerador.

$$ = \frac{1}{k!}\cdot 1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) $$

Paso 4: Simplificamos cada fracción: $\frac{n-j}{n} = 1 - \frac{j}{n}$.

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) $$

Paso 5: Expresión compacta con el productorio.

Paso 6 — Límite: Al tomar $n \to \infty$, cada factor $\left(1-\frac{j}{n}\right) \to 1$. Por lo tanto:

$$ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} $$

Esta serie infinita es precisamente la definición en serie del número $e$: $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$

$$ \boxed{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828\ldots } $$

Paso 7 — Conclusión. El binomio de Newton nos permite conectar directamente el límite de la sucesión con la serie que define al número $e$. La demostración es rigurosa y no requiere herramientas avanzadas de análisis.

5. Demostración Elegante (Todos los Casos a la Vez)

Existe una factorización que revela la estructura profunda del límite:

$$ \left(a+\frac{1}{n}\right)^n = a^n\left(1+\frac{1}{an}\right)^n $$

El segundo factor tiende a $e^{1/a}$, porque es de la forma $(1 + \frac{x}{n})^n$ con $x = 1/a$, y se sabe que:

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x $$

Por lo tanto, asintóticamente:

$$ \left(a+\frac{1}{n}\right)^n \sim a^n \cdot e^{1/a} $$

Todo el comportamiento se reduce a $a^n$:

  • Si $a < 1$: $a^n \to 0$, el producto tiende a $0$.
  • Si $a = 1$: $a^n = 1$, queda exactamente $e$.
  • Si $a > 1$: $a^n \to \infty$, el producto diverge.

Teorema General

$$ \lim_{n\to\infty}\left(a+\frac{1}{n}\right)^n = \begin{cases} 0, & 0 < a < 1, \\ e, & a = 1, \\ +\infty, & a > 1. \end{cases} $$

El valor $a = 1$ es el punto crítico donde el comportamiento cambia abruptamente. Es un ejemplo fascinante de cómo una frontera matemática simple separa tres regímenes completamente distintos.

6. Test Final

7. Certificado

Certificado de Conocimientos

The Critical Value of 1

Ha completado satisfactoriamente la evaluación

Prof. Mariano Miguel Lanzi