Logaritmos ℝ → ℂ → ℍ — De los Reales a los Cuaterniones

1. Logaritmos Reales

El logaritmo en base $b$ de un número positivo $x$ es el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $x$:

$$ \log_b(x) = y \;\Longleftrightarrow\; b^y = x \qquad (x > 0,\; b > 0,\; b \neq 1) $$

El logaritmo es la función inversa de la exponencial. Propiedades fundamentales:

$$ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \qquad \log_b\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \qquad \log_b(x^n) = n\log_b x $$

El logaritmo natural $\ln x$ usa base $e \approx 2.71828\ldots$ y satisface: $\ln(e^x) = x$ para $x \in \mathbb{R}$, $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$.

En los reales, el logaritmo está definido solo para números positivos. No existe $\ln(-1)$ en $\mathbb{R}$. Esta limitación nos fuerza a extender el concepto: ¿qué significa el logaritmo de un número negativo o complejo? Para responder, primero necesitamos entender los números complejos.

2. Números Complejos como Pares Ordenados

Un número complejo $z$ puede definirse rigurosamente como un par ordenado $(a, b)$ con $a,b \in \mathbb{R}$, dotado de dos operaciones:

Suma

$$ (a, b) + (c, d) = (a + c,\; b + d) $$

La suma es componente a componente: la parte real con la real, la imaginaria con la imaginaria.

Producto

$$ (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd,\; ad + bc) $$

Esta definición es la que le da a los complejos su estructura algebraica única. No es arbitraria: surge de exigir que la multiplicación sea distributiva y que exista un elemento con cuadrado negativo.

¿De dónde sale $i$? — Derivación del producto

Si identificamos el par $(a,0)$ con el número real $a$, y definimos la unidad imaginaria como $i = (0, 1)$, entonces la fórmula del producto implica:

$$ i \cdot i = (0, 1) \cdot (0, 1) $$

Paso 1: Aplicamos la definición de producto a $i \times i$.

$$ (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) $$

Paso 2: Sustituimos $a=0, b=1, c=0, d=1$ en la fórmula $(ac-bd, ad+bc)$.

$$ = (0 - 1,\; 0 + 0) = (-1, 0) $$

Paso 3: Simplificamos: $(-1, 0)$ es el par que identificamos con el número real $-1$.

$$ i^2 = -1 $$

Paso 4 — ¡Conclusión! La definición de producto en pares ordenados implica automáticamente que la unidad imaginaria al cuadrado es $-1$. No necesitamos postularlo: emerge de la estructura algebraica.

Con esta construcción, todo número complejo se escribe en forma binómica:

$$ z = (a, b) = a + bi $$

3. Forma Polar de un Número Complejo

Representando $z = a + bi$ en el plano complejo, su módulo y argumento son:

$$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \theta = \arg(z) = \operatorname{atan2}(b, a) $$

La fórmula de Euler conecta la exponencial compleja con las funciones trigonométricas:

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$

Por lo tanto, la forma polar (o exponencial) de un complejo es:

$$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,e^{i\theta} $$

No unicidad del argumento

El argumento $\theta$ no es único: sumar $2\pi k$ (con $k \in \mathbb{Z}$) produce el mismo punto en el plano complejo, porque $e^{i(\theta + 2\pi k)} = e^{i\theta} \cdot e^{i2\pi k} = e^{i\theta} \cdot 1 = e^{i\theta}$.

Para definir funciones de forma unívoca, se elige una rama del argumento. La rama principal toma $\theta \in (-\pi, \pi]$.

4. Logaritmo Complejo — Paso a Paso

Queremos extender el logaritmo a números complejos no nulos. La idea es usar la forma polar $z = r e^{i\theta}$ y aplicar la propiedad $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

$$ z = r\,e^{i\theta} $$

Paso 1: Escribimos $z$ en forma polar. $r = |z| > 0$ es un número real positivo, así que $\ln r$ está bien definido en $\mathbb{R}$.

$$ \ln z = \ln(r \cdot e^{i\theta}) $$

Paso 2: Queremos calcular el logaritmo del producto $r \cdot e^{i\theta}$.

$$ \ln z = \ln r + \ln(e^{i\theta}) $$

Paso 3: Usamos la propiedad del logaritmo: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Esto es válido porque $r > 0$ y $e^{i\theta}$ tiene módulo $1$.

$$ \ln(e^{i\theta}) = i\theta $$

Paso 4: El logaritmo natural es la función inversa de la exponencial: $\ln(e^w) = w$ para $w \in \mathbb{C}$ (con cuidado con las ramas).

$$ \ln z = \ln|z| + i\arg(z) $$

Paso 5 — Resultado final: El logaritmo complejo tiene una parte real (el logaritmo del módulo) y una parte imaginaria (el argumento).

$$ \ln z = \ln r + i(\theta + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z} $$

Paso 6 — Multivaluación: Como $\theta$ no es único, el logaritmo complejo es multivaluado. Para cada $k \in \mathbb{Z}$ obtenemos un valor distinto. La rama principal corresponde a $k = 0$ con $\theta \in (-\pi, \pi]$, denotada $\operatorname{Log}(z)$.

Ejemplos fundamentales

$\ln(-1)$

$-1 = 1 \cdot e^{i\pi}$. Entonces $\ln(-1) = \ln 1 + i\pi = 0 + i\pi = i\pi$.

¡El logaritmo de un número negativo existe en $\mathbb{C}$! Todos los valores: $\ln(-1) = i\pi(1 + 2k)$.

$\ln(i)$

$i = 1 \cdot e^{i\pi/2}$. Entonces $\ln(i) = \ln 1 + i\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2}$.

Precaución

En $\mathbb{C}$, la identidad $\ln(z_1 z_2) = \ln z_1 + \ln z_2$ no siempre vale debido a la multivaluación y la elección de ramas. Por ejemplo, $\operatorname{Log}(-1 \cdot -1) = \operatorname{Log}(1) = 0$, pero $\operatorname{Log}(-1) + \operatorname{Log}(-1) = i\pi + i\pi = 2\pi i \neq 0$. La identidad vale módulo $2\pi i$.

5. Cuaterniones — Definición y Álgebra

Los cuaterniones ($\mathbb{H}$, por Hamilton) extienden los complejos añadiendo dos unidades imaginarias más. Un cuaternión tiene la forma:

$$ q = a + bi + cj + dk, \qquad a,b,c,d \in \mathbb{R} $$

Relaciones fundamentales (Hamilton, 1843)

$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$

De aquí se derivan todas las reglas de multiplicación:

×	$i$	$j$	$k$
$i$	$-1$	$k$	$-j$
$j$	$-k$	$-1$	$i$
$k$	$j$	$-i$	$-1$

Propiedad crucial: no conmutatividad

En $\mathbb{H}$, $ij = k$ pero $ji = -k$. La multiplicación no es conmutativa. Esto tiene consecuencias profundas: muchas identidades que damos por sentadas en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ dejan de ser válidas. En particular, $\ln(q_1 q_2) \neq \ln q_1 + \ln q_2$ en general.

Todo cuaternión se descompone en parte escalar y parte vectorial:

$$ q = a + \mathbf{v}, \quad \text{donde } \mathbf{v} = bi + cj + dk $$

La norma es $|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$. El conjugado es $\overline{q} = a - \mathbf{v}$.

6. Forma Polar de un Cuaternión

Así como $z = r e^{i\theta}$ para complejos, un cuaternión admite una descomposición polar:

$$ q = |q|(\cos\theta + \mathbf{u}\sin\theta) $$

Donde:

$|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$ es la norma (un real positivo).
$\displaystyle \theta = \arccos\!\left(\frac{a}{|q|}\right)$ es el ángulo del cuaternión ($0 \leq \theta \leq \pi$).
$\displaystyle \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{bi + cj + dk}{\sqrt{b^2 + c^2 + d^2}}$ es la dirección unitaria de la parte vectorial.

Analogía y diferencia con ℂ

En complejos, la "dirección imaginaria" es única (el eje $i$). En cuaterniones, hay toda una esfera de direcciones imaginarias unitarias: cualquier vector unitario $\mathbf{u}$ con $\mathbf{u}^2 = -1$ se comporta como una unidad imaginaria. Esto significa que hay infinitas copias de los números complejos dentro de $\mathbb{H}$, una por cada dirección en la esfera $S^2$.

7. Exponencial Cuaterniónica

La exponencial de un cuaternión se define extendiendo la serie de McLaurin, y el resultado es análogo al caso complejo:

$$ e^q = e^{\,a + \mathbf{v}} = e^a \cdot e^{\mathbf{v}} $$

Para la parte vectorial pura $\mathbf{v} = \theta\mathbf{u}$ (con $\mathbf{u}$ unitario, $\mathbf{u}^2 = -1$):

$$ e^{\theta\mathbf{u}} = \cos\theta + \mathbf{u}\sin\theta $$

Esto es idéntico en forma a la fórmula de Euler compleja, pero con $\mathbf{u}$ en lugar de $i$. La diferencia crucial es que ahora $\mathbf{u}$ puede ser cualquier vector unitario puro, no solo $i$.

La exponencial de un cuaternión general es por tanto:

$$ e^{a + \theta\mathbf{u}} = e^a(\cos\theta + \mathbf{u}\sin\theta) $$

8. Logaritmo Cuaterniónico

El logaritmo de un cuaternión es la función inversa de la exponencial. Dado $q = a + \mathbf{v} = |q|(\cos\theta + \mathbf{u}\sin\theta)$ no nulo:

$$ \ln q = \ln|q| + \mathbf{u}\,\theta $$

Donde, paso a paso:

$\ln|q|$: logaritmo natural (real) de la norma. Bien definido pues $|q| > 0$.
$\theta = \arccos(a/|q|)$: el ángulo, en $[0, \pi]$.
$\mathbf{u} = \mathbf{v}/|\mathbf{v}|$: dirección unitaria de la parte vectorial.

Multivaluación y ramas

Al igual que en $\mathbb{C}$, el logaritmo cuaterniónico es multivaluado. Sumar $2\pi k$ al ángulo $\theta$ produce valores distintos:

$$ \ln q = \ln|q| + \mathbf{u}(\theta + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z} $$

Pero hay una ambigüedad adicional: si $q$ es un real negativo ($\mathbf{v} = 0$, $a < 0$), entonces $|q| = -a$, $\theta = \pi$, pero $\mathbf{u}$ puede ser cualquier vector unitario. Hay toda una esfera de logaritmos posibles, no solo una familia discreta. Es una diferencia geométrica fundamental con $\mathbb{C}$.

Caso especial: cuaterniones unitarios

Para $q$ unitario ($|q| = 1$), el logaritmo es puramente vectorial: $\ln q = \mathbf{u}\theta$. Este caso es crucial en gráficos 3D y robótica, donde los cuaterniones unitarios representan rotaciones. El logaritmo convierte una rotación en un vector de velocidad angular (eje × ángulo).

No conmutatividad del logaritmo

En $\mathbb{H}$, la identidad $\ln(q_1 q_2) = \ln q_1 + \ln q_2$ no se cumple en general, porque la exponencial no convierte sumas en productos cuando los cuaterniones no conmutan. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) gobierna estas relaciones.

9. Calculadora de Logaritmo Complejo

Ingresá un número complejo en forma binómica $a + bi$ para calcular su logaritmo principal.

a = b = + i ·

Ingresá valores y presioná Calcular

10. Test Final

11. Certificado

Certificado de Conocimientos

Logaritmos ℝ → ℂ → ℍ

Ha completado satisfactoriamente la evaluación

Prof. Mariano Miguel Lanzi