Interpolación Polinómica

De Lagrange a Newton: por qué cualquier sucesión finita puede ajustarse exactamente con un polinomio
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. El Problema de las Sucesiones

Consideremos la siguiente sucesión:

$$ 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 11,\; 20,\; 31,\; \ldots $$

La pregunta típica es: ¿cuál es el siguiente término? Y la respuesta típica es... que no hay una única respuesta correcta.

La trampa de los patrones

Los seres humanos tenemos una tendencia innata a buscar regularidades. Pero una cantidad finita de términos no determina unívocamente la ley que los genera. Distintas leyes —polinomios, recurrencias, funciones exponenciales, algoritmos— pueden producir exactamente los mismos primeros términos y divergir después.

Si alguien te dice que el siguiente término de $1, 2, 4, 8, 16$ es $32$, está asumiendo que la ley es $2^n$. Pero también podría ser $31$: el número máximo de regiones en que $n$ rectas dividen un círculo. Los primeros cinco términos coinciden; el sexto no.

Esto nos lleva a una pregunta fascinante: ¿existe siempre un polinomio que pase exactamente por cualquier conjunto finito de puntos? La respuesta es sí.

2. El Teorema de Interpolación de Lagrange

Teorema (Interpolación de Lagrange)

Dados $n+1$ puntos $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \ldots, (x_n,y_n)$ con $x_i \neq x_j$ para $i \neq j$, existe un único polinomio $P(x)$ de grado menor o igual que $n$ tal que $P(x_i) = y_i$ para todo $i = 0, 1, \ldots, n$.

Interpretación: si tengo 7 puntos con abscisas distintas, existe un único polinomio de grado $\leq 6$ que los atraviesa a todos. El grado puede ser menor (si los puntos ya están alineados, por ejemplo), pero nunca mayor.

Unicidad

Si $P(x)$ y $Q(x)$ son dos polinomios de grado $\leq n$ que interpolan los mismos $n+1$ puntos, entonces $R(x) = P(x) - Q(x)$ es un polinomio de grado $\leq n$ con $n+1$ raíces distintas. Por el teorema fundamental del álgebra, esto obliga a que $R(x) \equiv 0$, es decir $P = Q$.

Históricamente, el método fue descubierto por Joseph-Louis Lagrange en 1795, aunque Edward Waring lo había publicado años antes y Leonhard Euler ya usaba ideas similares.

3. La Intuición Detrás del Método

Antes de ver fórmulas, entendamos la idea. Supongamos que quiero un polinomio que pase por tres puntos: $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$.

La estrategia es construir polinomios auxiliares $L_i(x)$ con una propiedad mágica:

Propiedad de los $L_i(x)$

$$ L_i(x_j) = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases} $$

Cada $L_i(x)$ vale $1$ en "su" punto y $0$ en todos los demás. Funciona como un interruptor que "enciende" únicamente el valor $y_i$ en $x_i$.

Una vez que tenemos estos interruptores, el polinomio interpolador es trivial:

$$ P(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + \cdots + y_n L_n(x) $$

Al evaluar en $x = x_0$, todos los $L_i(x_0)$ se anulan excepto $L_0(x_0)=1$, y obtenemos $y_0$. Lo mismo para cada punto. ¡Es como si cada término "proyectara" su valor únicamente sobre su abscisa!

4. Construcción del Polinomio de Lagrange

¿Cómo construimos esos $L_i(x)$ mágicos? Si $L_i(x)$ debe anularse en $x_0, x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$, debe contener los factores $(x-x_j)$ para todo $j \neq i$:

$$ \ell_i(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} (x - x_j) $$

Este $\ell_i(x)$ ya se anula en todos los $x_j$ con $j \neq i$, pero en $x = x_i$ vale $\ell_i(x_i) = \prod_{j \neq i} (x_i - x_j)$, que no es necesariamente 1. Para forzar que valga 1, dividimos por ese valor:

$$ L_i(x) = \frac{\ell_i(x)}{\ell_i(x_i)} = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

Finalmente, la fórmula de interpolación de Lagrange es:

$$ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

Propiedades

  • El grado de $P(x)$ es $\leq n$ (puede ser menor si hay cancelaciones).
  • $P(x_i) = y_i$ para todo $i = 0,\ldots,n$.
  • Si los $y_i$ provienen de un polinomio $Q(x)$ de grado $\leq n$, entonces $P(x) = Q(x)$ exactamente.

5. Ejemplo Completo Paso a Paso

Interpolemos los puntos: $(1,2)$, $(2,5)$, $(3,4)$.

Datos: $x_0=1,y_0=2$; $x_1=2,y_1=5$; $x_2=3,y_2=4$. Tres puntos $\implies$ grado $\leq 2$.

$$ L_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{(x-2)(x-3)}{2} $$

Paso 1: Construimos el primer polinomio base. $L_0(1)=1$, $L_0(2)=0$, $L_0(3)=0$.

$$ L_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = \frac{(x-1)(x-3)}{-1} = -(x-1)(x-3) $$

Paso 2: Segundo polinomio base. $L_1(1)=0$, $L_1(2)=1$, $L_1(3)=0$.

$$ L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2} $$

Paso 3: Tercer polinomio base. $L_2(1)=0$, $L_2(2)=0$, $L_2(3)=1$.

$$ P(x) = 2L_0(x) + 5L_1(x) + 4L_2(x) $$

Paso 4: Combinación lineal pesada por los $y_i$.

$$ P(x) = (x-2)(x-3) - 5(x-1)(x-3) + 2(x-1)(x-2) $$

Paso 5: Sustitución y simplificación.

$$ P(x) = -2x^2 + 11x - 7 $$

Paso 6: Desarrollando y agrupando. Verifiquemos: $P(1)=-2+11-7=2$, $P(2)=-8+22-7=7$? No, $P(2) = -8+22-7 = 7$. ¡Cuidado! $y_2=5$. Revisemos...

$$ \begin{aligned} P(x) &= (x^2-5x+6) -5(x^2-4x+3) + 2(x^2-3x+2) \\ &= x^2-5x+6 -5x^2+20x-15 + 2x^2-6x+4 \\ &= -2x^2 + 9x - 5 \end{aligned} $$

Paso 7: Corrigiendo el desarrollo. $P(1) = -2+9-5 = 2 \checkmark$, $P(2) = -8+18-5 = 5 \checkmark$, $P(3) = -18+27-5 = 4 \checkmark$. ¡Perfecto!

6. Método de Newton (Diferencias Divididas)

El polinomio de Lagrange es elegante pero ineficiente si agregamos un punto nuevo (hay que recalcular todo). El método de Newton resuelve esto escribiendo el polinomio en forma incremental:

$$ P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}) $$

Los coeficientes $a_i$ son las diferencias divididas:

$$ f[x_0] = y_0,\quad f[x_0,x_1] = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0},\quad f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} $$

Para nuestro ejemplo $(1,2),(2,5),(3,4)$:

$i$$x_i$$f[x_i]$$f[x_i,x_{i+1}]$$f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]$
012$\frac{5-2}{2-1}=3$$\frac{-1-3}{3-1}=-2$
125$\frac{4-5}{3-2}=-1$
234

El polinomio de Newton: $P(x) = 2 + 3(x-1) + (-2)(x-1)(x-2) = -2x^2 + 9x - 5$. ¡Idéntico al de Lagrange!

La ventaja de Newton: si agregamos un cuarto punto $(4, y_4)$, solo necesitamos calcular un nuevo coeficiente $a_3$ sin tocar los anteriores.

7. Diferencias Finitas

Cuando los puntos están igualmente espaciados ($x_{i+1} - x_i = h$ constante), las diferencias divididas se simplifican a diferencias finitas:

$$ \Delta y_i = y_{i+1} - y_i,\quad \Delta^2 y_i = \Delta(\Delta y_i),\quad \Delta^3 y_i = \Delta(\Delta^2 y_i), \ldots $$

Propiedad fundamental

Si los datos provienen de un polinomio de grado $d$, entonces la $(d+1)$-ésima diferencia finita es idénticamente nula.

  • $\Delta$ constante $\implies$ grado 1 (recta)
  • $\Delta^2$ constante $\implies$ grado 2 (parábola)
  • $\Delta^3$ constante $\implies$ grado 3 (cúbica)

Demostración: Para un polinomio de grado $d$, $P(x+h)-P(x)$ es un polinomio de grado $d-1$ (los términos de mayor grado se cancelan). Aplicando el operador $\Delta$ repetidamente $d+1$ veces se obtiene el polinomio nulo.

Ejemplo con $y = x^2$ para $x = 0,1,2,3,4$:

$x$01234
$y$014916
$\Delta y$1357
$\Delta^2 y$222

$\Delta^2$ constante $= 2$ confirma que los datos provienen de una parábola ($d=2$).

8. Por Qué Esto No Sirve para Descubrir la Verdadera Ley

Esta es quizás la lección más importante. El hecho de que siempre exista un polinomio interpolador es una espada de doble filo.

La ilusión del ajuste perfecto

Un conjunto finito de datos nunca determina de forma única la ley que los generó. Infinitas funciones distintas —polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas, recurrencias— pueden coincidir exactamente sobre los datos conocidos y divergir en cualquier otro punto.

Consideremos la sucesión $1, 2, 4, 8, 16$. Podría provenir de:

  • $2^n$ (exponencial)
  • Un polinomio de grado 4 que interpole esos 5 puntos y luego diverja
  • La secuencia de Fibonacci $F_{n+3}$ (si empezamos más atrás)
  • El número de regiones de un círculo con $n$ puntos en la circunferencia

Interpolar datos no es lo mismo que descubrir el mecanismo que los produjo. La interpolación nos da una función que pasa por los puntos, pero no nos dice nada sobre la veracidad del modelo subyacente.

En aprendizaje automático, esto se conoce como sobreajuste (overfitting): un modelo demasiado complejo "aprende de memoria" los datos de entrenamiento pero fracasa estrepitosamente al generalizar. Un polinomio de grado $n$ que pasa por $n+1$ puntos es el ejemplo perfecto de sobreajuste.

9. La Navaja de Occam

Si infinitas funciones son compatibles con los mismos datos, ¿por qué preferimos la más simple?

Navaja de Occam (principio de parsimonia)

"Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem" — No deben multiplicarse las entidades más allá de lo necesario.

Entre dos explicaciones compatibles con los hechos, preferimos la más simple. No porque sea más probable que sea cierta, sino porque es más útil, más fácil de contrastar y menos propensa al sobreajuste.

No es una demostración matemática: es un criterio metodológico. La ciencia no "demuestra" que la naturaleza prefiere leyes simples; simplemente adopta esa hipótesis como estrategia de trabajo porque ha resultado extraordinariamente fructífera.

En física, en economía, en inteligencia artificial: el equilibrio entre ajuste y simplicidad es el arte de modelar.

10. El Acertijo de la Base Cuatro

Volvamos a la sucesión del principio:

$$ 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 11,\; 20,\; 31,\; \ldots $$

Pista

"Si la sucesión pareciera desafiar toda intuición, quizá el obstáculo no resida en la ley que gobierna sus términos sino en una convención tácita tan profundamente arraigada que termina convirtiéndose en el mejor escondite del verdadero patrón."

Los números están escritos en base 4. Convirtamos a decimal:

$$ 1_4 = 1,\; 1_4 = 1,\; 2_4 = 2,\; 3_4 = 3,\; 11_4 = 5,\; 20_4 = 8,\; 31_4 = 13 $$

En decimal, la sucesión es:

$$ \mathbf{1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; \ldots} $$

¡La sucesión de Fibonacci!

Donde cada término es la suma de los dos anteriores: $F_1=1$, $F_2=1$, $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$.

Lección: A veces la complejidad no está en los datos sino en las convenciones con que los leemos. Cuestionar la base de representación —literalmente— reveló un patrón que de otro modo permanecía oculto.

11. Calculadora Interactiva de Lagrange

Ingresá puntos $(x,y)$ separados por coma. Ejemplo: 1,2 2,5 3,4

12. Test Final

13. Certificado

Certificado de Conocimientos

Interpolación Polinómica — Lagrange, Newton y Diferencias Finitas

Ha completado satisfactoriamente la evaluación

Prof. Mariano Miguel Lanzi