Series Infinitas y Series de Taylor

Convergencia, McLaurin y la demostración de la Fórmula de Euler
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Sucesiones

Una sucesión $(a_n)_{n=1}^\infty$ es una lista ordenada e infinita de números reales o complejos: $a_1, a_2, a_3, \ldots$

$$ \lim_{n\to\infty} a_n = L \;\Longleftrightarrow\; \forall\varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N \implies |a_n - L| < \varepsilon $$

Una sucesión que tiene límite finito se llama convergente; en caso contrario, divergente. Ejemplos clásicos:

  • $a_n = \frac{1}{n}$: converge a $0$.
  • $a_n = (-1)^n$: oscila entre $-1$ y $1$, no converge.
  • $a_n = n^2$: diverge a $+\infty$.
  • $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n$: converge al número $e \approx 2.71828\ldots$

La convergencia de una sucesión a su límite puede visualizarse como un "embudo" ($\varepsilon$) que eventualmente atrapa a todos los términos.

2. Series Infinitas

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se define como el límite de las sumas parciales:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N, \quad \text{donde } S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n $$

Si el límite de $S_N$ existe y es finito, la serie converge. Si no, diverge. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la convergencia es que $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Si el término general no tiende a cero, la serie diverge automáticamente.

Serie geométrica

Es la serie más importante y una de las pocas que admite fórmula cerrada para la suma:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, \quad \text{si } |r| < 1 $$

Si $|r| \geq 1$, la serie geométrica diverge. Esta serie es fundamental porque muchos criterios de convergencia se basan en comparar con la geométrica.

Demostración: $S_N = 1+r+\cdots+r^N,$ multiplicando por $r$: $rS_N = r+r^2+\cdots+r^{N+1},$ restando: $(1-r)S_N = 1-r^{N+1},$ luego $S_N = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} \xrightarrow{N\to\infty} \frac{1}{1-r}$ si $|r|<1$.

3. Series Notables

La serie armónica

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $$

A pesar de que $\frac{1}{n} \to 0$, la serie armónica diverge (muy lentamente). Esto muestra que $a_n \to 0$ es condición necesaria pero no suficiente.

Demostración por agrupación: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{2},\; \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > \frac{1}{2},\;$ y así sucesivamente. Agrupando infinitos bloques mayores que $\frac{1}{2}$, la suma diverge.

El problema de Basilea ($\zeta(2)$)

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

Resuelto por Leonhard Euler en 1734 (a los 28 años). Esta serie sí converge: $\frac{1}{n^2}$ decrece mucho más rápido que $\frac{1}{n}$. Euler encontró el valor exacto $\pi^2/6$ usando un desarrollo ingenioso de $\sin x$ como producto infinito. El resultado asombró a la comunidad matemática de la época.

Las p-series

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{converge si } p > 1 \\ \text{diverge si } p \leq 1 \end{cases} $$

El valor crítico es $p = 1$: por debajo (armónica) diverge; por encima, converge.

4. Criterios de Convergencia

Criterio de comparación

Si $0 \leq a_n \leq b_n$ para $n$ suficientemente grande: si $\sum b_n$ converge $\implies \sum a_n$ converge; si $\sum a_n$ diverge $\implies \sum b_n$ diverge.

Criterio de la integral

Si $f(x)$ es positiva, continua y decreciente en $[1,\infty)$ con $a_n = f(n)$, entonces $\sum a_n$ converge si y solo si $\int_1^\infty f(x)\,dx$ converge. Esto demuestra rigurosamente el criterio de las p-series.

Criterio del cociente (D'Alembert)

Sea $L = \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$. Si $L < 1$ converge; si $L > 1$ diverge; si $L = 1$ el criterio no decide.

Criterio de la raíz (Cauchy)

Sea $L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. Si $L < 1$ converge; si $L > 1$ diverge; si $L = 1$ no decide.

Criterio de series alternadas (Leibniz)

Si $a_n > 0$, $a_n$ es decreciente y $\lim a_n = 0$, entonces $\sum (-1)^n a_n$ converge (aunque no absolutamente).

5. Series de Potencias

Una serie de potencias centrada en $x = a$ es una serie de la forma:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots $$

Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia $R \geq 0$ (puede ser $+\infty$) tal que la serie converge absolutamente para $|x-a| < R$ y diverge para $|x-a| > R$. En $|x-a| = R$ puede converger o diverger, según el caso.

$$ R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}} = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad \text{(si el límite existe)} $$

Dentro del radio de convergencia, una serie de potencias define una función analítica: infinitamente derivable y representable por su serie. Esto nos lleva directamente a Taylor.

6. Series de Taylor y McLaurin

Teorema de Taylor

Si $f$ es infinitamente derivable en un entorno de $a$, entonces para $x$ en dicho entorno:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

Cuando $a = 0$, la serie se denomina serie de McLaurin:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

Derivación de los desarrollos fundamentales

Exponencial: $f(x) = e^x$, $f^{(n)}(0) = 1$ para todo $n$.

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$

Seno: $f(x) = \sin x$, con $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$, $f'''(0)=-1$, ciclo de período 4.

$$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$

Coseno: Ciclo similar, empezando en $f(0)=1$, $f'(0)=0$.

$$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $$

Logaritmo: $f(x) = \ln(1+x)$, radio de convergencia $R = 1$.

$$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad (|x| < 1) $$

7. Demostración de la Fórmula de Euler

La fórmula de Euler es una de las ecuaciones más bellas de la matemática:

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta $$

Su demostración usando series de McLaurin es directa y elegante. No saltamos ningún paso.

Paso 1: Partimos del desarrollo de McLaurin de $e^x$, sustituyendo $x = i\theta$:

$$ e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots $$

Paso 2: Calculamos las potencias de $i$: $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, y se repite el ciclo cada 4.

$$ \begin{aligned} e^{i\theta} &= 1 + i\theta + \frac{-\theta^2}{2!} + \frac{-i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} + \cdots \end{aligned} $$

Paso 3: Agrupamos los términos sin $i$ (reales) y los términos con $i$ (imaginarios):

$$ e^{i\theta} = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots\right) $$

Paso 4: ¡Reconocemos! El primer paréntesis es exactamente la serie de McLaurin de $\cos\theta$. El segundo es la de $\sin\theta$:

$$ \cos\theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\theta^{2n}, \qquad \sin\theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1} $$

Paso 5 — Conclusión: Por lo tanto:

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta \quad \blacksquare $$

Como corolario inmediato (haciendo $\theta = \pi$):

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

La identidad de Euler, que conecta las cinco constantes fundamentales de la matemática: $e$, $i$, $\pi$, $1$ y $0$.

8. Calculadora Interactiva de Taylor

Elegí una función y el grado del polinomio de McLaurin. La gráfica muestra la función original (celeste) y la aproximación (violeta) junto con los términos acumulados.

Grado n = 3

9. Test Final

10. Certificado

Certificado de Conocimientos

Series Infinitas y Series de Taylor

Ha completado satisfactoriamente la evaluación

Prof. Mariano Miguel Lanzi