Capítulo 2
Ecuaciones de Euler-Lagrange
2.1 Derivación Formal para una Partícula
En mecánica, la variable independiente es el tiempo $t$. La "función" que buscamos es la trayectoria $q(t)$ (la coordenada generalizada). El funcional a considerar es la acción $S$:
donde $L = T - V$ es el lagrangiano del sistema: la diferencia entre la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$.
Las condiciones de frontera fijan las posiciones inicial y final:
Aplicando el mismo procedimiento variacional del capítulo anterior, la trayectoria física es aquella que hace estacionaria la acción: $\delta S = 0$. Esto conduce a la ecuación de Euler-Lagrange para la mecánica:
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden en el tiempo para $q(t)$.
2.2 Sistemas con Varios Grados de Libertad
Para un sistema con $n$ coordenadas generalizadas $\{q_1, q_2, \ldots, q_n\}$, el lagrangiano depende de todas ellas:
La condición $\delta S = 0$ produce un sistema de $n$ ecuaciones de Euler-Lagrange acopladas:
Cada ecuación gobierna la evolución de una coordenada generalizada. Las ecuaciones están acopladas a través del lagrangiano $L$.
2.3 Comparación con la Formulación Newtoniana
| Aspecto | Mecánica Newtoniana | Mecánica Lagrangiana |
|---|---|---|
| Objeto central | Vector fuerza $\vec{F}$ | Función escalar $L = T - V$ |
| Ecuación | $\vec{F} = m\vec{a}$ | $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}$ |
| Coordenadas | Típicamente cartesianas | Cualquier sistema de coordenadas |
| Fuerzas de ligadura | Deben calcularse explícitamente | Se eliminan naturalmente |
| Simetrías | No evidentes | Se revelan naturalmente (Noether) |
| Generalización | Difícil a teorías de campo | Directa a teoría cuántica de campos |
2.4 Ejemplos Introductorios
Partícula libre en una dimensión
Para una partícula libre, $V = 0$, y la energía cinética es $T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$. El lagrangiano es:
La ecuación de Euler-Lagrange da:
Resultado: la partícula libre se mueve con velocidad constante, como exige la primera ley de Newton.
Oscilador armónico simple
Para un resorte de constante $k$:
Ecuación de Euler-Lagrange:
Es decir: $m\ddot{x} + kx = 0$, la conocida ecuación del oscilador armónico.
Partícula en un potencial $V(x)$
La ecuación de Euler-Lagrange reproduce exactamente la segunda ley de Newton cuando se usa $L = T - V$ en coordenadas cartesianas.
2.5 Estructura de las Ecuaciones
Desarrollando la derivada total en la ecuación de Euler-Lagrange:
Sustituyendo en la ecuación de Euler-Lagrange:
La matriz $M_{ij} = \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j}$ es la matriz de masa del sistema. Si es invertible, las aceleraciones $\ddot{q}_j$ quedan determinadas unívocamente por las posiciones y velocidades.
Propiedad clave
Para un sistema mecánico estándar, $L$ es cuadrático en las velocidades: $L = \frac{1}{2}\sum_{i,j} m_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j - V(q)$. La matriz de masa es $M_{ij} = m_{ij}(q)$, que es simétrica y definida positiva.
2.6 Resumen del Capítulo
- El lagrangiano $L = T - V$ es la función fundamental de la mecánica analítica.
- Las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtienen de $\delta S = 0$ donde $S = \int L \, dt$.
- Para $n$ grados de libertad, se obtienen $n$ ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas.
- En coordenadas cartesianas sin ligaduras, las ecuaciones de Euler-Lagrange reproducen $\vec{F} = m\vec{a}$.
- La formulación lagrangiana es independiente del sistema de coordenadas elegido.