Capítulo 5
Leyes de Conservación y Teorema de Noether
5.1 Momento Conjugado
Para cada coordenada generalizada $q_i$, se define el momento conjugado (o momento canónico):
A diferencia del momento lineal newtoniano ($m\vec{v}$), el momento conjugado puede no tener dimensiones de masa $\times$ velocidad. Por ejemplo, si $q_i$ es un ángulo, $p_i$ tiene dimensiones de momento angular.
Observación
La ecuación de Euler-Lagrange puede reescribirse como $\dot{p}_i = \partial L / \partial q_i$. Si el lagrangiano no depende de una coordenada $q_i$, entonces $\dot{p}_i = 0$ y $p_i$ es constante.
5.2 Coordenadas Cíclicas
Una coordenada generalizada $q_i$ se llama cíclica (o ignorable) si no aparece explícitamente en el lagrangiano:
En ese caso, la ecuación de Euler-Lagrange implica directamente:
Este es el resultado más simple de conservación: a cada coordenada cíclica le corresponde una cantidad conservada.
Ejemplo: Partícula libre en coordenadas cartesianas
$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$. Las tres coordenadas son cíclicas, por lo que $p_x, p_y, p_z$ (los momentos lineales) se conservan.
Ejemplo: Fuerza central
Para una partícula en un potencial $V(r)$, en coordenadas polares:
$\theta$ es cíclica, por lo que $p_\theta = mr^2\dot{\theta}$ (el momento angular) se conserva.
5.3 El Teorema de Noether
El Teorema de Noether (Emmy Noether, 1918) establece una conexión profunda entre simetrías continuas y leyes de conservación:
Teorema de Noether: A cada simetría continua del lagrangiano (transformación que deja la acción invariante) le corresponde una cantidad conservada (corriente de Noether).
Demostración esquemática
Consideremos una transformación infinitesimal de las coordenadas y el tiempo:
Si la acción es invariante bajo esta transformación (para todo $\epsilon$ pequeño), entonces la cantidad:
es constante en el tiempo, donde $H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$ es el hamiltoniano.
En palabras: si las leyes de la física no cambian bajo una transformación continua, existe una magnitud que se conserva.
5.4 Las Grandes Leyes de Conservación
| Simetría | Cantidad Conservada | Transformación |
|---|---|---|
| Traslación espacial | Momento lineal $\vec{p}$ | $q \to q + \epsilon$ |
| Rotación espacial | Momento angular $\vec{L}$ | Rotación de coordenadas |
| Traslación temporal | Energía $E$ | $t \to t + \epsilon$ |
Homogeneidad e isotropía
La conservación del momento lineal proviene de la homogeneidad del espacio (las leyes no dependen de la posición absoluta). La conservación del momento angular proviene de la isotropía del espacio (las leyes no dependen de la orientación). La conservación de la energía proviene de la homogeneidad del tiempo (las leyes no dependen del instante absoluto).
5.5 Conservación de la Energía y Función de Jacobi
Si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo ($\partial L / \partial t = 0$), se conserva la integral de Jacobi (o función energía):
Demostración:
Usando $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ y $\dot{p}_i = \partial L / \partial q_i$ (de Euler-Lagrange):
Si $\partial L / \partial t = 0$, entonces $h$ es constante. Para sistemas con energía cinética cuadrática en velocidades y ligaduras esclerónomas, $h = T + V = E$, la energía mecánica total.
5.6 Resumen del Capítulo
- El momento conjugado $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ generaliza el concepto de momento lineal.
- Las coordenadas cíclicas ($\partial L / \partial q_i = 0$) implican momentos conservados.
- El Teorema de Noether conecta simetrías continuas con leyes de conservación.
- Simetría de traslación espacial $\to$ conservación del momento lineal.
- Simetría de rotación $\to$ conservación del momento angular.
- Simetría de traslación temporal $\to$ conservación de la energía.