Capítulo 9
Introducción a la Formulación Hamiltoniana
9.1 La Transformada de Legendre
La formulación lagrangiana usa variables $(q_i, \dot{q}_i)$ en el espacio de configuración. La formulación hamiltoniana usa variables $(q_i, p_i)$ en el espacio de fases. El paso de una a otra se realiza mediante la transformada de Legendre.
El hamiltoniano $H$ se define como:
donde las velocidades $\dot{q}_i$ deben expresarse en función de $(q, p, t)$ invirtiendo $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$.
Para sistemas estándar con $L = T - V$ y $T$ cuadrática en velocidades:
El hamiltoniano coincide con la energía total del sistema (cuando las ligaduras son esclerónomas y el potencial no depende de velocidades).
9.2 Ecuaciones Canónicas de Hamilton
Tomando diferenciales de la definición $H = \sum p_i \dot{q}_i - L$:
Pero también, como $H = H(q, p, t)$:
Comparando coeficientes se obtienen las ecuaciones canónicas de Hamilton:
Estructura simpléctica
Las ecuaciones de Hamilton revelan una estructura geométrica profunda: la evolución en el espacio de fases preserva la forma simpléctica $\omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i$. Esto es el Teorema de Liouville: el volumen en el espacio de fases se conserva bajo la dinámica hamiltoniana.
9.3 Comparación: Lagrangiano vs. Hamiltoniano
| Aspecto | Lagrangiano | Hamiltoniano |
|---|---|---|
| Variables | $(q_i, \dot{q}_i)$ — $n$ ecuaciones de 2° orden | $(q_i, p_i)$ — $2n$ ecuaciones de 1° orden |
| Espacio | Espacio de configuración ($n$-dim) | Espacio de fases ($2n$-dim) |
| Función central | $L(q, \dot{q}, t)$ | $H(q, p, t)$ |
| Simetría | No evidente entre $q$ y $p$ | Simetría $q \leftrightarrow p$ (salvo signo) |
| Extensión a cuántica | Integral de camino (Feynman) | Cuantización canónica |
9.4 Paréntesis de Poisson
Para dos funciones $f(q, p, t)$ y $g(q, p, t)$ en el espacio de fases, se define el paréntesis de Poisson:
Propiedades
- Antisimetría: $\{f, g\} = -\{g, f\}$
- Bilinealidad: $\{af+bg, h\} = a\{f,h\} + b\{g,h\}$
- Identidad de Jacobi: $\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$
Paréntesis fundamentales
La evolución temporal de cualquier función dinámica se expresa elegantemente:
Una cantidad se conserva si $\{f, H\} = 0$ (y $\partial f / \partial t = 0$).
9.5 Ejemplo: Oscilador Armónico en Formalismo Hamiltoniano
Lagrangiano: $L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2$.
Momento conjugado: $p = \partial L / \partial \dot{x} = m\dot{x}$.
Invirtiendo: $\dot{x} = p/m$.
Hamiltoniano:
Ecuaciones de Hamilton:
Combinándolas: $\ddot{x} = \dot{p}/m = -kx/m$, la ecuación del oscilador armónico.
9.6 Resumen del Capítulo
- La transformada de Legendre convierte $(q, \dot{q}) \to (q, p)$.
- El hamiltoniano $H(q,p,t)$ gobierna la dinámica en el espacio de fases.
- Las ecuaciones de Hamilton son $2n$ ecuaciones de primer orden.
- Los paréntesis de Poisson son la estructura algebraica fundamental de la mecánica clásica.
- $\dot{f} = \{f, H\} + \partial f / \partial t$ unifica la evolución temporal.