Capítulo 7: Integral Indefinida
La operación inversa de la derivación
1. Antiderivada o Primitiva
Dada una función f, una antiderivada (o primitiva) de f es toda función F tal que F′(x) = f(x) para todo x en un intervalo I.
F es una antiderivada de f ⇔ F′(x) = f(x) ∀ x ∈ I
Si F es una antiderivada de f, entonces todas las antiderivadas de f tienen la forma F(x) + C, donde C es una constante arbitraria. Esto se debe a que la derivada de una constante es cero.
Observación clave
La derivación tiene pérdida de información: al derivar F(x) = x² + 5 y G(x) = x² − 3 obtenemos la misma función f(x) = 2x. La integración recupera la familia completa F(x) + C.
Ejemplo
Hallar una antiderivada de f(x) = 3x².
F(x) = x³ ⇒ F′(x) = 3x² = f(x) ✓
La familia completa de antiderivadas es F(x) = x³ + C, con C ∈ ℝ.
2. Integral Indefinida
La integral indefinida de f con respecto a x se denota por ∫ f(x) dx y representa el conjunto de todas las antiderivadas de f:
∫ f(x) dx = F(x) + C donde F′(x) = f(x)
El símbolo ∫ se denomina signo integral, f(x) es el integrando, dx indica la variable de integración y C es la constante de integración.
No olvidar la constante
Escribir ∫ f(x) dx = F(x) sin la constante + C es un error conceptual grave. La integral indefinida representa una familia de funciones, no una función única.
d/dx [ ∫ f(x) dx ] = f(x) y ∫ f′(x) dx = f(x) + C
3. Linealidad de la Integral
La integral indefinida es un operador lineal. Para constantes α, β ∈ ℝ:
∫ [ α f(x) + β g(x) ] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx
Esta propiedad permite descomponer integrales complejas en sumas de integrales más simples.
Ejemplo
∫ (4x³ + 2 sin x) dx = 4 ∫ x³ dx + 2 ∫ sin x dx = 4·x⁴/4 + 2(−cos x) + C = x⁴ − 2 cos x + C
4. Tabla de Integrales Inmediatas
Las siguientes integrales se obtienen invirtiendo las reglas de derivación:
| Derivada | Integral indefinida |
|---|---|
| d/dx [x] = 1 | ∫ dx = x + C |
| d/dx [xn+1/(n+1)] = xn | ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C, n ≠ −1 |
| d/dx [ln|x|] = 1/x | ∫ (1/x) dx = ln|x| + C |
| d/dx [ex] = ex | ∫ ex dx = ex + C |
| d/dx [sin x] = cos x | ∫ cos x dx = sin x + C |
| d/dx [−cos x] = sin x | ∫ sin x dx = −cos x + C |
| d/dx [tan x] = sec² x | ∫ sec² x dx = tan x + C |
| d/dx [−cot x] = csc² x | ∫ csc² x dx = −cot x + C |
| d/dx [sec x] = sec x tan x | ∫ sec x tan x dx = sec x + C |
| d/dx [−csc x] = csc x cot x | ∫ csc x cot x dx = −csc x + C |
Caso especial n = −1
La fórmula ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C no aplica para n = −1, pues daría división por cero. En ese caso se usa ∫ x−1 dx = ln|x| + C.
5. Integrales por Descomposición
Muchas integrales se resuelven descomponiendo el integrando en una suma de funciones cuyas integrales son conocidas. Se utiliza la linealidad y la tabla de integrales inmediatas.
Estrategia general
- Expandir productos y cocientes si es posible.
- Separar en suma de integrales individuales.
- Extraer constantes fuera de cada integral.
- Aplicar la tabla de integrales inmediatas.
- Sumar los resultados y agregar una sola constante C.
Ejemplo 1
∫ (x² + 1)² dx = ∫ (x⁴ + 2x² + 1) dx = x⁵/5 + 2x³/3 + x + C
Ejemplo 2
∫ (x³ + 3x² − 5) / x dx = ∫ (x² + 3x − 5/x) dx = x³/3 + 3x²/2 − 5 ln|x| + C
6. Condiciones Iniciales
Cuando se conoce el valor de la función primitiva en un punto (condición inicial), es posible determinar el valor exacto de la constante C.
Ejemplo
Hallar f(x) si f′(x) = 6x² − 4x + 1 y f(1) = 5.
f(x) = ∫ (6x² − 4x + 1) dx = 2x³ − 2x² + x + C
Aplicando la condición inicial f(1) = 5:
2(1)³ − 2(1)² + 1 + C = 5 ⇒ 2 − 2 + 1 + C = 5 ⇒ C = 4
Por lo tanto, f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4.
7. Aplicación: Movimiento Rectilíneo
En física, si s(t) es la posición de una partícula en el instante t, entonces:
v(t) = s′(t) (velocidad) a(t) = v′(t) = s″(t) (aceleración)
Integrando la aceleración se obtiene la velocidad; integrando la velocidad se obtiene la posición. Las constantes de integración se determinan con las condiciones iniciales del movimiento.
Integración en cinemática
| Dato conocido | Se obtiene integrando |
|---|---|
| Aceleración a(t) | Velocidad: v(t) = ∫ a(t) dt |
| Velocidad v(t) | Posición: s(t) = ∫ v(t) dt |
Ejemplo
Una partícula se mueve con aceleración a(t) = 12t − 6. En t = 0, su velocidad es v(0) = 5 m/s y su posición es s(0) = 3 m. Hallar s(t).
v(t) = ∫ (12t − 6) dt = 6t² − 6t + C₁v(0) = 5 ⇒ C₁ = 5 ⇒ v(t) = 6t² − 6t + 5
s(t) = ∫ (6t² − 6t + 5) dt = 2t³ − 3t² + 5t + C₂s(0) = 3 ⇒ C₂ = 3 ⇒ s(t) = 2t³ − 3t² + 5t + 3