Capítulo 6 — Aplicaciones de la Derivada
1. Ecuación de la recta tangente y normal
Dada una función $f$ diferenciable en $x = a$, la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$ es la recta que pasa por dicho punto con pendiente $m = f'(a)$:
La recta normal es la recta perpendicular a la tangente en el mismo punto. Su pendiente es $m_n = -1/f'(a)$ (si $f'(a) \neq 0$):
Interpretación geométrica
La recta tangente es la mejor aproximación lineal de $f$ cerca de $x = a$. Esto significa que para $x$ próximos a $a$, $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. Esta es la base de la linealización y el polinomio de Taylor de primer orden.
2. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
Teorema de Rolle
Si $f$ es continua en $[a,b]$, diferenciable en $(a,b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$.
Interpretación geométrica
En algún punto interior del intervalo, la recta tangente es horizontal. Gráficamente, entre dos puntos de igual altura en una curva suave, debe haber al menos un punto donde la pendiente es cero (un máximo, un mínimo o un punto de inflexión horizontal).
Teorema del Valor Medio (TVM) o de Lagrange
Si $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que:
El TVM garantiza que existe un punto donde la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta secante que une $(a,f(a))$ con $(b,f(b))$.
Consecuencias del TVM
- Si $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es constante en $[a,b]$.
- Si $f'(x) > 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es estrictamente creciente.
- Si $f'(x) = g'(x)$ para todo $x$, entonces $f(x) = g(x) + C$.
3. Criterio de la primera derivada
El signo de $f'(x)$ determina el crecimiento o decrecimiento de $f$:
- $f'(x) > 0$ en un intervalo $\implies$ $f$ es creciente en dicho intervalo.
- $f'(x) < 0$ en un intervalo $\implies$ $f$ es decreciente en dicho intervalo.
Los puntos críticos de $f$ son aquellos donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no existe. El criterio de la primera derivada permite clasificarlos:
Criterio de la primera derivada
Sea $c$ un punto crítico de $f$:
- Si $f'$ cambia de $+$ a $-$ en $c$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$.
- Si $f'$ cambia de $-$ a $+$ en $c$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$.
- Si $f'$ no cambia de signo en $c$, entonces $c$ es un punto de inflexión con tangente horizontal (punto silla).
4. Criterio de la segunda derivada
La segunda derivada $f''(x)$ proporciona información sobre la concavidad de la gráfica:
- $f''(x) > 0 \implies$ $f$ es cóncava hacia arriba (forma de copa $\cup$).
- $f''(x) < 0 \implies$ $f$ es cóncava hacia abajo (forma de gorra $\cap$).
Criterio de la segunda derivada para extremos
Sea $c$ un punto crítico de $f$ (es decir, $f'(c)=0$):
- Si $f''(c) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$.
- Si $f''(c) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$.
- Si $f''(c) = 0$, el criterio no es concluyente; debe recurrirse al criterio de la primera derivada.
Un punto de inflexión es aquel donde la concavidad cambia (de arriba a abajo o viceversa). En estos puntos, $f''(c) = 0$ o $f''(c)$ no existe.
5. Regla de L'Hôpital
La regla de L'Hôpital es una herramienta para calcular límites que presentan formas indeterminadas del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$. Bajo ciertas condiciones de diferenciabilidad:
siempre que el límite del cociente de derivadas exista (o sea $\pm\infty$). La regla también es válida para límites laterales y límites cuando $x \to \pm\infty$.
Condiciones de aplicación
- $f$ y $g$ deben ser diferenciables en un entorno de $a$ (salvo quizás en $a$).
- $g'(x) \neq 0$ en dicho entorno.
- El límite original debe ser de la forma $0/0$ o $\infty/\infty$.
- El límite $\displaystyle \lim_{x \to a} f'(x)/g'(x)$ debe existir o ser $\pm\infty$.
Si tras aplicar L'Hôpital se obtiene nuevamente una indeterminación, la regla puede aplicarse iterativamente:
6. Problemas de optimización
Los problemas de optimización consisten en encontrar los valores máximos o mínimos de una magnitud sujeta a ciertas restricciones. El procedimiento general es:
- Identificar la función objetivo $f(x)$ a optimizar.
- Expresar las restricciones y reducir a una sola variable.
- Encontrar los puntos críticos ($f'(x) = 0$).
- Clasificar los extremos (criterio de la primera o segunda derivada).
- Verificar los extremos del dominio y la validez de la solución.
Ejemplo clásico: caja de máximo volumen
De una lámina cuadrada de lado $L$, se recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y se doblan las solapas. El volumen de la caja resultante es:
Derivando e igualando a cero: $V'(x) = (L-2x)^2 - 4x(L-2x) = (L-2x)(L-6x) = 0$, obteniendo $x = L/6$ como punto crítico factible que maximiza el volumen.
Otro ejemplo típico es el de distancia mínima: hallar el punto sobre una curva más cercano a un punto fijo dado, minimizando la función distancia $d(x) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (f(x) - y_0)^2}$.
7. Razones de cambio relacionadas
En muchos fenómenos físicos, dos o más magnitudes varían con el tiempo y están vinculadas por una ecuación. El objetivo es encontrar la tasa de cambio de una de ellas conociendo la de las otras.
El procedimiento general consiste en:
- Identificar las variables y su relación mediante una ecuación.
- Derivar ambos lados de la ecuación respecto al tiempo $t$ (regla de la cadena).
- Sustituir los valores conocidos y despejar la tasa buscada.
Ejemplo: escalera deslizante
Una escalera de longitud $L$ se apoya contra una pared vertical. El pie se desliza alejándose de la pared a velocidad constante $v$. Si $x(t)$ es la distancia del pie a la pared e $y(t)$ la altura del extremo superior:
El signo negativo indica que la altura disminuye cuando el pie se aleja. Notar que cuando $y \to 0$, $dy/dt \to \infty$: la escalera se despega de la pared con velocidad infinita (modelo idealizado).
En problemas de llenado de tanques, se relaciona la tasa de cambio del volumen $dV/dt$ (caudal de entrada) con la tasa de cambio de la altura $dh/dt$, usando la geometría del recipiente.