Capítulo 10 — Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
10.1 Definición de Ecuación Diferencial Ordinaria
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una función desconocida $y = y(x)$ y una o más de sus derivadas respecto de $x$.
Conceptos Clave
- Orden: la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
- Grado: el exponente al que está elevada la derivada de mayor orden, una vez que la ecuación está expresada como un polinomio en las derivadas.
Ejemplos
| EDO | Orden | Grado |
|---|---|---|
| $y' + 3y = e^x$ | 1 | 1 |
| $y'' + 4y' + 4y = 0$ | 2 | 1 |
| $(y')^2 + y = \sin x$ | 1 | 2 |
| $y''' - 2y'' + y' = x^3$ | 3 | 1 |
10.2 Solución General y Solución Particular
Resolver una EDO significa encontrar todas las funciones $y = y(x)$ que la satisfacen.
Definiciones
- Solución general: familia de funciones que contiene constantes arbitrarias (tantas como el orden de la EDO).
- Solución particular: una función concreta obtenida al fijar los valores de las constantes arbitrarias.
Ejemplo
Resolver $y' = 2x$:
La solución general es $y = x^2 + C$. Si imponemos $y(0) = 3$, obtenemos la solución particular $y = x^2 + 3$.
10.3 Problema de Valor Inicial (PVI)
Un Problema de Valor Inicial consiste en una EDO junto con una o más condiciones que la solución debe satisfacer en un punto dado:
La condición $y(x_0) = y_0$ permite determinar el valor de la constante de integración, obteniendo una solución única (bajo condiciones de continuidad apropiadas).
Ejemplo
Resolver el PVI: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x^2$, $y(1) = 5$.
Solución general: $y = x^3 + C$. Imponiendo $y(1) = 1^3 + C = 5 \Rightarrow C = 4$. Solución particular: $y = x^3 + 4$.
10.4 Ecuaciones Diferenciales Separables
Una EDO de primer orden es separable si puede escribirse como:
El método consiste en separar las variables e integrar:
Precaución
Al dividir por $h(y)$, debemos verificar que $h(y) \neq 0$. Los valores de $y$ que anulan $h(y)$ pueden ser soluciones singulares que se pierden en el proceso.
Ejemplo 1
Resolver $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xy$.
Separamos: $\frac{dy}{y} = x\,dx$ (para $y \neq 0$). Integrando:
Ejemplo 2
Resolver $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
$y\,dy = x\,dx$. Integrando: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$, es decir:
10.5 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Una EDO lineal de primer orden tiene la forma:
donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo.
Factor Integrante
Multiplicamos ambos miembros por el factor integrante $\mu(x)$:
Esto transforma el lado izquierdo en la derivada de un producto: $\frac{d}{dx}\big[\mu(x)\,y\big] = \mu(x)\,Q(x)$.
Fórmula de la Solución
Ejemplo
Resolver $\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy = x$.
$P(x) = 2x$. Factor integrante: $\mu(x) = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}$. Multiplicando:
Integrando: $e^{x^2} y = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$. Luego:
10.6 Aplicación: Crecimiento y Decrecimiento Exponencial
Muchos fenómenos naturales siguen la ley: la tasa de cambio de una cantidad es proporcional a la cantidad presente.
donde $k$ es la constante de proporcionalidad (positiva para crecimiento, negativa para decrecimiento).
Solución del Modelo
La EDO es separable y su solución general es:
donde $P_0 = P(0)$ es la cantidad inicial. Si $k > 0$ hay crecimiento exponencial; si $k < 0$, decrecimiento exponencial.
Ejemplo: Población de Bacterias
Una colonia de bacterias crece a una tasa proporcional a su tamaño. Si inicialmente hay 1000 bacterias y después de 2 horas hay 3000, hallar la población en función del tiempo.
$P(t) = 1000\,e^{kt}$. Con $P(2) = 3000$: $1000\,e^{2k} = 3000 \Rightarrow e^{2k} = 3 \Rightarrow k = \frac{\ln 3}{2}$. Luego $P(t) = 1000 \cdot 3^{t/2}$.
10.7 Aplicación: Ley de Enfriamiento de Newton
La ley establece que la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del ambiente.
donde $T = T(t)$ es la temperatura del cuerpo, $T_{\text{amb}}$ es la temperatura ambiente (constante) y $k > 0$ es una constante.
Solución
La EDO es separable y también lineal de primer orden. Su solución es:
donde $T_0 = T(0)$ es la temperatura inicial del cuerpo.
Ejemplo
Se saca una pizza del horno a $200^\circ$C y se coloca en una habitación a $20^\circ$C. Si después de 5 minutos la temperatura es $120^\circ$C, ¿cuál será la temperatura a los 10 minutos?
$T(t) = 20 + 180\,e^{-kt}$. De $T(5) = 120$: $120 = 20 + 180\,e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$. A los 10 min:
10.8 Conexión con el Cálculo Integral
Es fundamental comprender que resolver una EDO es, en esencia, un problema de integración. El Cálculo Integral proporciona las herramientas para encontrar las soluciones.
Resumen de la Conexión
- Cada integración introduce una constante arbitraria.
- Una EDO de orden $n$ requiere $n$ integraciones sucesivas (y produce $n$ constantes).
- Los métodos de integración (sustitución, partes, fracciones parciales) estudiados en el Capítulo 9 son indispensables para resolver EDOs.
- Un PVI fija las constantes de integración usando condiciones conocidas.
En los capítulos anteriores aprendimos a integrar funciones. Ahora aprendemos que integrar es el acto central para modelar fenómenos dinámicos — desde el movimiento de un proyectil hasta el crecimiento de una población o el enfriamiento de un cuerpo. La integral ya no es un fin en sí misma, sino una herramienta para desentrañar las leyes del cambio.