Capítulo 3 — Continuidad
1. Definición de continuidad en un punto
Intuitivamente, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Formalmente, $f$ es continua en $x = a$ si se cumplen tres condiciones:
Tres condiciones para la continuidad en $x = a$
- $f(a)$ está definida (existe el valor de la función en $a$).
- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe (el límite bilateral existe).
- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (el límite coincide con el valor de la función).
En términos de la definición $\varepsilon$-$\delta$: $f$ es continua en $a$ si para todo $\varepsilon \gt 0$ existe $\delta \gt 0$ tal que si $|x - a| \lt \delta$, entonces $|f(x) - f(a)| \lt \varepsilon$. Notar que esta definición es idéntica a la de límite, con la diferencia de que $L = f(a)$ y no se requiere $0 \lt |x - a|$ (la función debe estar definida en el punto, a diferencia del límite).
Ejemplo
Demostrar que $f(x) = x^2$ es continua en $a = 3$: se verifica que $f(3) = 9$, que $\displaystyle\lim_{x \to 3} x^2 = 9$, y por tanto el límite coincide con el valor de la función. Las tres condiciones se satisfacen.
2. Continuidad lateral
Así como existen límites laterales, también podemos definir la continuidad por izquierda y por derecha. Una función $f$ es:
- Continua por la derecha en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
- Continua por la izquierda en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
$f$ es continua en $a$ (de manera bilateral) si y solo si es continua tanto por la derecha como por la izquierda en $a$. Si una función es continua en $a$ pero solo uno de los límites laterales coincide con $f(a)$, entonces presenta una discontinuidad evitable o de salto, como veremos a continuación.
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ si es continua en cada punto del intervalo abierto $(a,b)$, continua por la derecha en $a$ y continua por la izquierda en $b$.
3. Tipos de discontinuidad
Cuando al menos una de las tres condiciones de continuidad falla, la función presenta una discontinuidad en el punto. Clasificamos las discontinuidades en tres tipos fundamentales:
(a) Discontinuidad evitable (o removible)
El límite $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ existe y es finito, pero $f(a)$ no está definida o $f(a) \neq L$. La discontinuidad se «evita» redefiniendo $f(a) = L$. Gráficamente, la curva presenta un agujero en $x = a$. Ejemplo clásico: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ en $x = 0$; definiendo $f(0) = 1$, la función se vuelve continua.
(b) Discontinuidad de salto (o de primera especie)
Los límites laterales existen, son finitos, pero son diferentes: $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$. La magnitud del salto es $|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$. Ejemplo: la función escalón de Heaviside $H(x) = 0$ para $x \lt 0$ y $H(x) = 1$ para $x \geq 0$, con salto de magnitud $1$ en $x = 0$.
(c) Discontinuidad esencial (o de segunda especie)
Al menos uno de los límites laterales no existe (es infinito) o no es finito. No se puede redefinir la función en el punto para hacerla continua. Ejemplos: $f(x) = \frac{1}{x}$ en $x = 0$ (asíntota vertical), $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ en $x = 0$ (oscilación infinita).
Las funciones continuas en un intervalo tienen gráficas sin saltos, agujeros ni asíntotas. La clasificación en evitables, de salto y esenciales cubre todas las formas en que una función puede dejar de ser continua en un punto.
4. Propiedades de funciones continuas
Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, y $c$ es una constante, entonces las siguientes funciones también lo son:
- Suma y resta: $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$ es continua en $a$.
- Multiplicación: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ es continua en $a$.
- Multiplicación por escalar: $(c f)(x) = c \cdot f(x)$ es continua en $a$.
- División: $\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ es continua en $a$, siempre que $g(a) \neq 0$.
- Composición: Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$, entonces $f \circ g$ es continua en $a$.
Consecuencia: continuidad de funciones elementales
Los polinomios, las funciones racionales (salvo en los ceros del denominador), las funciones trigonométricas $\sin x$, $\cos x$, la exponencial $e^x$ y el logaritmo $\ln x$ (para $x \gt 0$) son continuas en todos los puntos de su dominio natural. Esta afirmación se demuestra combinando la continuidad de las funciones básicas con las propiedades algebraicas.
Otra propiedad importante es la continuidad de la función inversa: si $f$ es continua y estrictamente monótona en un intervalo $I$, entonces $f^{-1}$ es continua en $f(I)$. Por ejemplo, $\arcsin x$, $\arccos x$ y $\arctan x$ son continuas en sus respectivos dominios.
5. Teorema del Valor Intermedio
Teorema del Valor Intermedio (TVI)
Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y sea $N$ un número estrictamente comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$. Entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = N$.
Geométricamente, el TVI afirma que la gráfica de una función continua sobre un intervalo no puede saltar de un valor a otro sin pasar por todos los valores intermedios. Toda recta horizontal $y = N$ entre $f(a)$ y $f(b)$ corta la gráfica de $f$ al menos una vez.
Ejemplo: raíz de una ecuación
Demostrar que la ecuación $x^3 - x - 1 = 0$ tiene al menos una raíz real en $[1, 2]$. Definimos $f(x) = x^3 - x - 1$, continua en $[1,2]$. Evaluamos: $f(1) = -1$, $f(2) = 5$. Como $f(1) \lt 0 \lt f(2)$, por el TVI existe $c \in (1,2)$ tal que $f(c) = 0$. Este método, conocido como método de bisección, permite aproximar raíces con precisión arbitraria.
El TVI también garantiza que si $f$ es continua en $[a,b]$, su imagen $f([a,b])$ es un intervalo (o un punto). Esta propiedad es fundamental para el análisis de ecuaciones y para justificar la existencia de puntos fijos en ciertos contextos.
6. Teorema de Weierstrass
Teorema de Weierstrass (de los valores extremos)
Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. Es decir, existen $c, d \in [a,b]$ tales que:
$$f(c) \leq f(x) \leq f(d) \quad \text{para todo } x \in [a,b].$$
Este teorema es de vital importancia en optimización: asegura que un problema de búsqueda de extremos tiene solución sobre conjuntos compactos (cerrados y acotados). Por el contrario, una función continua sobre un intervalo abierto $(a,b)$ puede no alcanzar máximo ni mínimo (por ejemplo, $f(x) = x$ en $(0,1)$).
Observaciones importantes
- La hipótesis de intervalo cerrado $[a,b]$ es esencial. En $(0, 1]$, $f(x) = 1/x$ es continua pero no alcanza máximo (diverge a $+\infty$ en $x \to 0^+$).
- La hipótesis de función acotada (el intervalo es cerrado y acotado) es necesaria. En $[0, \infty)$, $f(x) = x^2$ no alcanza máximo.
- El teorema garantiza existencia, no da un método para encontrar los extremos. Eso corresponde al cálculo diferencial (Capítulo 6).
El Teorema de Weierstrass, junto con el TVI, muestra que las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados gozan de propiedades muy «ordenadas»: no presentan sorpresas ni patologías.
7. Continuidad uniforme
La continuidad ordinaria («puntual») requiere que, para cada punto $x_0$ del dominio, el $\delta$ que responde a un $\varepsilon$ dado pueda depender de $x_0$. La continuidad uniforme refuerza esta noción exigiendo que el mismo $\delta$ sirva para todos los puntos del dominio.
Definición de continuidad uniforme
Una función $f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua en $A$ si para todo $\varepsilon \gt 0$ existe un $\delta \gt 0$ (que depende solo de $\varepsilon$, no del punto) tal que:
$$\forall x, y \in A:\; |x - y| \lt \delta \;\Longrightarrow\; |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon.$$
La diferencia es sutil pero profunda. Por ejemplo, $f(x) = x^2$ es continua en $\mathbb{R}$ (puntualmente) pero no es uniformemente continua en $\mathbb{R}$, porque a medida que $x$ crece, la función se vuelve más empinada y el mismo $\delta$ no puede controlar el cambio en $f$ en todas partes.
Teorema de Heine-Cantor
Si $f$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$, entonces $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$. Este teorema es uno de los resultados más importantes del análisis real: sobre compactos, la continuidad puntual implica automáticamente la continuidad uniforme.
La continuidad uniforme tiene consecuencias importantes: garantiza que las sumas de Riemann convergen a la integral (Capítulo 8) y que el límite de una sucesión de funciones continuas uniformemente convergente es una función continua. Es una herramienta esencial en el análisis matemático avanzado.
Ejemplo de función no uniformemente continua
$f(x) = \frac{1}{x}$ en $(0, 1)$. Aunque es continua en cada punto de $(0,1)$, no es uniformemente continua: para un $\varepsilon$ fijo, a medida que nos acercamos a $0$, la función varía tan rápidamente que ningún $\delta$ fijo puede controlar el cambio. La gráfica se vuelve arbitrariamente empinada cerca del origen.