Capítulo 8: Integral Definida
De las sumas de Riemann al Teorema Fundamental del Cálculo
1. Suma de Riemann
Sea f una función definida en [a, b]. Una partición P del intervalo es un conjunto de puntos a = x₀ < x₁ < ... < xₙ = b. El ancho de cada subintervalo es Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁.
P = {x₀, x₁, ..., xₙ} con Δx = (b − a) / n (partición regular)
La suma de Riemann de f asociada a la partición P y a los puntos muestra xᵢ* es:
R(f, P) = Σₙ₂₋₁ f(xᵢ*) Δx
Tipos de sumas de Riemann
- Suma inferior (Lₙ): se toma el mínimo de f en cada subintervalo.
- Suma superior (Uₙ): se toma el máximo de f en cada subintervalo.
- Suma por la izquierda / derecha / punto medio: según la elección de xᵢ*.
Lₙ ≤ Área real ≤ Uₙ y limₙ→∞ Lₙ = limₙ→∞ Uₙ
2. Definición de Integral Definida
Si f es continua en [a, b], la integral definida de f desde a hasta b es el límite de las sumas de Riemann cuando n → ∞:
∫ₙₓ f(x) dx = limₙ→∞ Σₙ₂₋₁ f(xᵢ*) Δx
El número a es el límite inferior, b es el límite superior y la integral definida representa el área neta (con signo) entre la gráfica de f y el eje x.
Integral definida ≠ área
La integral definida calcula el área con signo: positiva donde f(x) > 0 y negativa donde f(x) < 0. Para calcular el área geométrica total se deben tomar valores absolutos o separar la integral.
3. Propiedades de la Integral Definida
| ∫ₙₓ α f(x) dx = α ∫ₙₓ f(x) dx | Homogeneidad |
| ∫ₙₓ [f(x) + g(x)] dx = ∫ₙₓ f(x) dx + ∫ₙₓ g(x) dx | Aditividad |
| ∫ₙₓ f(x) dx = ∫ₙₚ f(x) dx + ∫ₚₓ f(x) dx | Aditividad en intervalos (a ≤ c ≤ b) |
| Si f(x) ≥ 0 en [a,b] entonces ∫ₙₓ f(x) dx ≥ 0 | Positividad |
| Si f(x) ≤ g(x) entonces ∫ₙₓ f(x) dx ≤ ∫ₙₓ g(x) dx | Monotonía |
| |∫ₙₓ f(x) dx| ≤ ∫ₙₓ |f(x)| dx | Desigualdad triangular |
| ∫ₙₓ f(x) dx = −∫ₓₙ f(x) dx | Inversión de límites |
Consecuencia práctica
Las propiedades de linealidad y aditividad permiten descomponer integrales definidas complejas en fragmentos más manejables, del mismo modo que con las integrales indefinidas.
4. Teorema Fundamental del Cálculo — Parte 1
Si f es continua en [a, b], la función definida por:
F(x) = ∫ₙᵛ f(t) dt, x ∈ [a, b]
es derivable y su derivada es el integrando original:
F′(x) = d/dx [ ∫ₙᵛ f(t) dt ] = f(x)
Esto demuestra que la derivación y la integración son operaciones inversas. La función F(x) es una antiderivada de f(x) que cumple F(a) = 0.
5. Teorema Fundamental del Cálculo — Parte 2
Si F es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces:
∫ₙₓ f(x) dx = F(b) − F(a)
Esta es la herramienta fundamental para evaluar integrales definidas: se halla una antiderivada F y se evalúa la diferencia en los extremos.
Notación
F(x) |ₓₙ = F(b) − F(a)
Ejemplo
∫₁³ 2x dx = x² |₁³ = 3² − 1² = 9 − 1 = 8
6. Teorema del Valor Medio para Integrales
Si f es continua en [a, b], existe al menos un punto c ∈ [a, b] tal que:
f(c) = (1 / (b − a)) ∫ₙₓ f(x) dx
El valor f(c) se denomina valor medio (o promedio) de f en [a, b]. Geométricamente, existe un rectángulo de base (b − a) y altura f(c) cuya área iguala el área bajo la curva.
Interpretación geométrica
El teorema garantiza que la región bajo la curva tiene la misma área que un rectángulo cuya altura es el valor promedio de la función en el intervalo.
Ejemplo
Hallar el valor medio de f(x) = x² en [0, 2].
Valor medio = 1/2 ∫₀² x² dx = 1/2 · [x³/3]₀² = 1/2 · 8/3 = 4/3
7. Área bajo la Curva y entre Curvas
El área geométrica (siempre positiva) entre la curva y = f(x) y el eje x en [a, b] es:
Área = ∫ₙₓ |f(x)| dx
Para dos curvas y = f(x) e y = g(x) con f(x) ≥ g(x) en [a, b], el área entre ellas es:
Área entre curvas = ∫ₙₓ [f(x) − g(x)] dx
Procedimiento para área entre curvas
- Graficar ambas funciones y hallar los puntos de intersección (límites de integración).
- Determinar cuál función es mayor en cada subintervalo.
- Plantear la integral de la diferencia (curva superior − curva inferior).
- Evaluar usando el TFC Parte 2.
Ejemplo
Hallar el área entre y = x e y = x² en [0, 1].
Área = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6