Capítulo 2 — Límites Infinitos y al Infinito
1. Límites infinitos
Cuando una función crece o decrece sin cota a medida que $x$ se aproxima a un valor $a$, decimos que el límite es infinito. Esto no significa que el límite «exista» en el sentido usual, sino que la función diverge.
Definición de límite infinito
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ significa que para todo $M>0$ existe $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta \implies f(x)>M$.
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ significa que para todo $N<0$ existe $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta \implies f(x)
El ejemplo paradigmático es la función $f(x)=\frac{1}{x}$ alrededor de $x=0$. Sus límites laterales son:
Como los límites laterales no coinciden (ni siquiera en «signo» de infinito), el límite ordinario $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ no existe. En estos casos la gráfica presenta una rama que se dispara hacia arriba por la derecha de $0$ y hacia abajo por la izquierda.
2. Límites al infinito
Ahora estudiamos el comportamiento de $f(x)$ cuando la variable independiente $x$ se hace arbitrariamente grande en valor absoluto, es decir, $x\to +\infty$ o $x\to -\infty$.
Definición de límite al infinito
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=L$ significa que para todo $\varepsilon>0$ existe $R>0$ tal que $x>R \implies |f(x)-L|<\varepsilon$.
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=L$ significa que para todo $\varepsilon>0$ existe $S<0$ tal que $x
El caso más simple:
También puede ocurrir que la función diverja cuando $x\to\infty$: por ejemplo $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{2}=+\infty$.
3. Asíntotas verticales
Una asíntota vertical es una recta $x=a$ hacia la cual la gráfica de $f$ se aproxima indefinidamente, creciendo o decreciendo sin cota.
Definición de asíntota vertical
La recta $x=a$ es una asíntota vertical de $f$ si se cumple al menos uno de los siguientes:
Ejemplo 1: $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ tiene una asíntota vertical en $x=2$, pues:
Ejemplo 2: $f(x)=\tan x$ tiene asíntotas verticales en $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, donde $\cos x=0$.
Para funciones racionales $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, los candidatos a asíntotas verticales son las raíces reales del denominador $q(x)$ que no son raíces del numerador $p(x)$.
4. Asíntotas horizontales
Una asíntota horizontal es una recta $y=L$ a la que la gráfica de $f$ se aproxima cuando $x$ tiende a $+\infty$ o a $-\infty$.
Definición
La recta $y=L$ es una asíntota horizontal de $f$ si:
Ejemplo: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ tiene asíntota horizontal $y=2$, porque:
Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas si $\lim_{x\to +\infty}f(x)\neq \lim_{x\to -\infty}f(x)$. Por ejemplo, $f(x)=\arctan x$ tiene $y=\frac{\pi}{2}$ cuando $x\to +\infty$ e $y=-\frac{\pi}{2}$ cuando $x\to -\infty$.
5. Asíntotas oblicuas
Cuando una función crece sin cota pero su gráfica se aproxima a una recta no horizontal, hablamos de asíntota oblicua.
Definición de asíntota oblicua
La recta $y=mx+b$ (con $m\neq 0$) es una asíntota oblicua de $f$ cuando $x\to +\infty$ si:
(Análogamente para $x\to -\infty$.)
Si $m=0$, estaríamos en el caso de una asíntota horizontal. Si el límite de $f(x)/x$ es infinito o no existe, no hay asíntota oblicua (ni horizontal).
Ejemplo: $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}$. Entonces $m=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1}{x^{2}}=1$ y $b=\lim_{x\to\infty}\bigl(x+\frac{1}{x}-x\bigr)=0$. La asíntota oblicua es $y=x$.
6. Órdenes de infinitud
Cuando dos funciones tienden a infinito, es útil comparar qué tan rápido lo hacen. Esto permite resolver límites indeterminados del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.
Jerarquía de infinitos (para $x\to +\infty$)
De menor a mayor velocidad de crecimiento:
Esto significa, por ejemplo, que $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=0$ para cualquier $\alpha>0$.
Ejemplo: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{1000}}=+\infty$, porque la exponencial domina a cualquier potencia.
Ejemplo: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0$, porque el logaritmo crece más lentamente que cualquier potencia positiva.
Dentro de las potencias, la de mayor exponente domina: para $x\to\infty$, $x^{5}$ crece más rápido que $x^{3}$. Y dentro de las exponenciales, la de mayor base domina: $5^{x}$ crece más rápido que $3^{x}$.
7. Cálculo de límites indeterminados
Las formas indeterminadas más frecuentes son $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^{0}$, $\infty^{0}$ y $1^{\infty}$. A continuación tratamos técnicas elementales para resolver las dos primeras.
Factorización (caso $0/0$)
Cuando numerador y denominador se anulan simultáneamente, factorizamos y cancelamos el factor común:
Racionalización (caso $0/0$ con radicales)
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado:
División por la mayor potencia (caso $\infty/\infty$)
Para límites de cocientes de polinomios cuando $x\to\infty$, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de $x$ que aparece:
En general, para $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^{n}+\cdots+a_0}{b_m x^{m}+\cdots+b_0}$:
- Si $n=m$, el límite es $\dfrac{a_n}{b_m}$.
- Si $n>m$, el límite es $\pm\infty$ (el signo depende de los coeficientes).
- Si $n