Capítulo 1

Fundamentos y Principios Variacionales

Prof. Mariano Miguel Lanzi

1.1 Repaso de Mecánica Newtoniana

La mecánica newtoniana se basa en las tres leyes de Newton. Para una partícula de masa $m$ sujeta a una fuerza $\vec{F}$, la segunda ley en su forma más precisa establece:

$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $$

donde $\vec{p} = m\vec{v}$ es el momento lineal (o cantidad de movimiento). Si la masa es constante, esta expresión se reduce a la forma más conocida $\vec{F} = m\vec{a}$. Sin embargo, cuando la masa varía en el tiempo —como en un cohete que expulsa combustible— debe usarse la forma general $\vec{F} = d\vec{p}/dt = m\dot{\vec{v}} + \dot{m}\vec{v}$.

$$ \vec{F} = m\vec{a} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \qquad \text{(solo si } m = \text{constante)} $$

Esta formulación tiene un carácter vectorial y requiere conocer todas las fuerzas que actúan sobre el sistema, incluidas las fuerzas de ligadura. En sistemas con muchas partículas y restricciones geométricas, el enfoque newtoniano se vuelve complejo.

Limitaciones de la formulación newtoniana

  • Requiere calcular explícitamente las fuerzas de ligadura.
  • Es difícil de aplicar en coordenadas no cartesianas.
  • No revela las simetrías y leyes de conservación de forma natural.
  • La generalización a sistemas con infinitos grados de libertad (teoría de campos) es poco práctica.

1.2 Introducción al Cálculo Variacional

El cálculo variacional estudia cómo encontrar funciones que minimizan (o hacen estacionario) un funcional. Un funcional es una aplicación que toma una función y devuelve un número.

Definición de funcional

Un funcional $J[y]$ asigna un valor escalar a cada función $y(x)$ en un cierto dominio:

$$ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} f\left(y, y', x\right) \, dx $$

donde $y' = dy/dx$ y $f$ es una función conocida (el integrando o lagrangiano del problema variacional).

El problema fundamental del cálculo variacional

Dado un funcional $J[y]$, se busca la función $y(x)$ que hace que $J[y]$ tome un valor estacionario (mínimo, máximo o punto de silla), sujeta a condiciones de frontera fijas:

$$ y(x_1) = y_1, \qquad y(x_2) = y_2 $$

Ejemplo clásico: La braquistócrona

Bernoulli propuso en 1696 encontrar la curva por la cual una partícula, bajo acción de la gravedad, desciende de un punto $A$ a otro $B$ en el menor tiempo posible. La solución es una cicloide, y este problema dio origen al cálculo variacional.

1.3 Condición de Estacionariedad

Para que $y(x)$ haga estacionario a $J[y]$, la primera variación debe anularse: $\delta J = 0$.

Consideramos una familia de funciones cercanas a $y(x)$:

$$ \bar{y}(x) = y(x) + \epsilon \, \eta(x) $$

donde $\eta(x)$ es una función arbitraria que satisface $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$ (para mantener fijas las condiciones de frontera), y $\epsilon$ es un parámetro pequeño.

El funcional evaluado en la función perturbada es:

$$ J(\epsilon) = \int_{x_1}^{x_2} f\left(y + \epsilon\eta, \, y' + \epsilon\eta', \, x\right) \, dx $$

La condición de estacionariedad se expresa como:

$$ \left. \frac{dJ}{d\epsilon} \right|_{\epsilon=0} = 0 \quad \forall \, \eta(x) \text{ admisible} $$

1.4 Derivación de la Ecuación de Euler-Lagrange

Derivando $J(\epsilon)$ respecto a $\epsilon$ y evaluando en $\epsilon=0$:

$$ \left. \frac{dJ}{d\epsilon} \right|_{\epsilon=0} = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \, \eta + \frac{\partial f}{\partial y'} \, \eta' \right) dx = 0 $$

Integrando por partes el segundo término y usando $\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$:

$$ \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y'} \, \eta' \, dx = \left[ \frac{\partial f}{\partial y'} \, \eta \right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) \eta \, dx = - \int_{x_1}^{x_2} \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) \eta \, dx $$

Por lo tanto:

$$ \int_{x_1}^{x_2} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) \right] \eta(x) \, dx = 0 $$

Como $\eta(x)$ es arbitraria, el lema fundamental del cálculo variacional exige que el integrando sea idénticamente nulo:

$$ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right) = 0 $$

Esta es la célebre ecuación de Euler-Lagrange, la piedra angular sobre la que construiremos la mecánica analítica.

Nota importante

La ecuación de Euler-Lagrange nos da una condición necesaria para un extremo. Determinar si es un mínimo, máximo o punto de silla requiere analizar la segunda variación $\delta^2 J$.

1.5 Primeros Ejemplos del Cálculo Variacional

Distancia más corta entre dos puntos

En el plano, el elemento de longitud es $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$. El funcional a minimizar es:

$$ L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y')^2} \, dx $$

Aquí $f = \sqrt{1 + (y')^2}$ no depende explícitamente de $y$. La ecuación de Euler-Lagrange da:

$$ \frac{d}{dx}\left( \frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}} \right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{y'}{\sqrt{1+(y')^2}} = \text{constante} $$

Esto implica $y' = \text{constante}$, es decir, $y(x) = mx + b$: una línea recta.

Superficie mínima de revolución

El área de una superficie generada al rotar una curva $y(x)$ alrededor del eje $x$ es:

$$ A = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx $$

La solución de la ecuación de Euler-Lagrange asociada es una catenaria: $y(x) = a \cosh\left(\frac{x-b}{a}\right)$.

1.6 Resumen del Capítulo

  • La mecánica newtoniana es poderosa pero tiene limitaciones en sistemas con ligaduras.
  • Un funcional asigna un número a una función completa.
  • La ecuación de Euler-Lagrange es la condición necesaria para que un funcional sea estacionario.
  • El lema fundamental del cálculo variacional permite pasar de una integral nula para toda variación admisible a una ecuación diferencial.
  • Estos conceptos son la base matemática sobre la que se construye la formulación lagrangiana de la mecánica.

Evaluación - Capítulo 1

Pregunta 1: ¿Qué es un funcional?

Pregunta 2: La ecuación de Euler-Lagrange se obtiene mediante:

Pregunta 3: ¿Cuál es una limitación de la mecánica newtoniana?

Pregunta 4: En el problema de la distancia más corta entre dos puntos, ¿qué curva se obtiene?

Pregunta 5: La curva que minimiza el tiempo de descenso entre dos puntos bajo gravedad es:

Pregunta 6: En la variación de un funcional, ¿qué condición se impone a $\eta(x)$?

Pregunta 7: La primera variación de un funcional $\delta J$ representa:

Pregunta 8: ¿Quién propuso el problema de la braquistócrona en 1696?

Pregunta 9: Si un funcional no depende explícitamente de $y$, la ecuación de Euler-Lagrange predice que:

Pregunta 10: La superficie de revolución de área mínima está descrita por una: