Capítulo 10

Transformaciones Canónicas y Teoría de Hamilton-Jacobi

Prof. Mariano Miguel Lanzi

10.1 Transformaciones Canónicas

Una transformación canónica es un cambio de variables en el espacio de fases:

$$ Q_i = Q_i(q, p, t), \qquad P_i = P_i(q, p, t) $$

que preserva la estructura de las ecuaciones de Hamilton. Es decir, existe un nuevo hamiltoniano $K(Q, P, t)$ tal que:

$$ \dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} $$

La condición para que una transformación sea canónica es que preserve los paréntesis de Poisson fundamentales:

$$ \{Q_i, Q_j\} = 0, \quad \{P_i, P_j\} = 0, \quad \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij} $$

10.2 Funciones Generatrices

Las transformaciones canónicas pueden generarse mediante funciones generatrices. Hay cuatro tipos estándar, según la dependencia de las variables:

TipoFunción GeneratrizRelaciones
$F_1(q, Q, t)$Depende de viejas y nuevas coordenadas$p_i = \partial F_1/\partial q_i$, $P_i = -\partial F_1/\partial Q_i$
$F_2(q, P, t)$Depende de viejas coordenadas y nuevos momentos$p_i = \partial F_2/\partial q_i$, $Q_i = \partial F_2/\partial P_i$
$F_3(p, Q, t)$Depende de viejos momentos y nuevas coordenadas$q_i = -\partial F_3/\partial p_i$, $P_i = -\partial F_3/\partial Q_i$
$F_4(p, P, t)$Depende de viejos y nuevos momentos$q_i = -\partial F_4/\partial p_i$, $Q_i = \partial F_4/\partial P_i$

En todos los casos, el nuevo hamiltoniano se relaciona con el viejo por:

$$ K = H + \frac{\partial F}{\partial t} $$

10.3 La Ecuación de Hamilton-Jacobi

El objetivo supremo de la teoría de transformaciones canónicas es encontrar una transformación que haga que el nuevo hamiltoniano sea idénticamente nulo: $K = 0$. En ese caso, todas las nuevas coordenadas y momentos son constantes de movimiento.

Buscamos una función generatriz $S(q, P, t)$ de tipo $F_2$ (que llamamos función principal de Hamilton) tal que $K = 0$:

$$ H\left(q_1, \ldots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_n}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $$

Esta es la célebre ecuación de Hamilton-Jacobi. Es una ecuación en derivadas parciales de primer orden para $S(q_1, \ldots, q_n, t)$.

Significado de $S$

La función principal de Hamilton $S$ es, de hecho, la acción evaluada sobre la trayectoria clásica como función de las coordenadas finales y el tiempo. Es decir, $S(q, t)$ satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi y su significado físico es profundo: es la fase de la función de onda en el límite semiclásico de la mecánica cuántica.

10.4 Separación de Variables

Cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, podemos separar:

$$ S(q, P, t) = W(q, P) - Et $$

donde $W$ es la función característica de Hamilton y satisface la ecuación independiente del tiempo:

$$ H\left(q_1, \ldots, q_n, \frac{\partial W}{\partial q_1}, \ldots, \frac{\partial W}{\partial q_n}\right) = E $$

Si además el sistema es separable, podemos escribir $W = \sum_i W_i(q_i)$, lo que reduce la EDP a $n$ ecuaciones diferenciales ordinarias desacopladas.

10.5 Variables de Acción-Ángulo

Para sistemas periódicos (libración o rotación), se definen las variables de acción:

$$ J_i = \frac{1}{2\pi} \oint p_i \, dq_i $$

donde la integral se realiza sobre un ciclo completo del movimiento. Las variables de acción son constantes de movimiento.

Sus conjugadas son las variables de ángulo $w_i$, que evolucionan linealmente en el tiempo:

$$ \dot{w}_i = \frac{\partial H}{\partial J_i} = \omega_i(J) = \text{constante} \quad\Rightarrow\quad w_i(t) = \omega_i t + w_i(0) $$

Las frecuencias $\omega_i$ son las frecuencias fundamentales del sistema. Las variables de acción-ángulo son la herramienta natural para estudiar sistemas integrables y la base de la teoría de perturbaciones canónicas.

10.6 Conexión con la Mecánica Cuántica

La ecuación de Hamilton-Jacobi representa el límite clásico ($\hbar \to 0$) de la mecánica cuántica. La función de onda en la aproximación WKB se escribe:

$$ \Psi(q, t) \approx A(q)\, e^{iS(q,t)/\hbar} $$

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger y tomando el límite $\hbar \to 0$, se recupera exactamente la ecuación de Hamilton-Jacobi. Esto muestra la profunda conexión entre la mecánica clásica (Hamilton-Jacobi) y la mecánica cuántica (Schrödinger).

Cuantización de Bohr-Sommerfeld

Las condiciones de cuantización de la "vieja mecánica cuántica" se expresan naturalmente en variables de acción-ángulo: $J_i = n_i \hbar$, donde $n_i$ son números enteros. Esta regla, aunque aproximada, fue el puente histórico hacia la mecánica cuántica moderna.

10.7 Resumen del Capítulo

  • Las transformaciones canónicas preservan la estructura hamiltoniana.
  • Las funciones generatrices permiten construir transformaciones canónicas sistemáticamente.
  • La ecuación de Hamilton-Jacobi busca $K=0$ para trivializar la dinámica.
  • La separación de variables reduce la EDP a EDOs cuando es posible.
  • Las variables de acción-ángulo son ideales para sistemas periódicos integrables.
  • Hamilton-Jacobi es el puente clásico-cuántico, conectando con la ecuación de Schrödinger.

Evaluación - Capítulo 10

Pregunta 1: Una transformación canónica es aquella que:

Pregunta 2: La ecuación de Hamilton-Jacobi es:

Pregunta 3: Para un hamiltoniano independiente del tiempo, la función principal se separa como:

Pregunta 4: La variable de acción $J_i$ se define como:

Pregunta 5: Las variables de ángulo $w_i$ evolucionan según:

Pregunta 6: Para una función generatriz de tipo $F_2(q, P, t)$, las relaciones son:

Pregunta 7: En el límite semiclásico, la función de onda se relaciona con $S$ mediante:

Pregunta 8: El objetivo de la ecuación de Hamilton-Jacobi es encontrar una transformación tal que:

Pregunta 9: La cuantización de Bohr-Sommerfeld establece que:

Pregunta 10: ¿Qué tipo de ecuación es la de Hamilton-Jacobi?