Capítulo 3

3.1 Grados de Libertad

El número de grados de libertad de un sistema es el número mínimo de coordenadas independientes necesarias para describir completamente su configuración en cualquier instante.

Ejemplos

Partícula libre en 3D: 3 grados de libertad ($x, y, z$).
Partícula sobre una superficie esférica: 2 grados de libertad ($\theta, \phi$).
Péndulo simple: 1 grado de libertad (el ángulo $\theta$).
Cuerpo rígido libre: 6 grados de libertad (3 de traslación + 3 de rotación).
Dos partículas unidas por una varilla rígida: 5 grados de libertad.

Si un sistema de $N$ partículas en 3 dimensiones tiene $m$ ligaduras holonómicas independientes, los grados de libertad son:

$$ n = 3N - m $$

3.2 Ligaduras

Una ligadura (o restricción) es una condición que limita el movimiento del sistema. Se clasifican en:

Ligaduras Holonómicas

Son aquellas que pueden expresarse como una ecuación que involucra solo las coordenadas (y posiblemente el tiempo):

$$ f(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_N, t) = 0 $$

Ejemplos: una partícula obligada a moverse sobre un plano ($z = 0$), o sobre una esfera ($x^2+y^2+z^2 = R^2$).

Ligaduras No Holonómicas

No pueden expresarse solo en términos de coordenadas. Involucran velocidades de forma no integrable:

$$ g(\vec{r}_1, \ldots, \vec{r}_N, \dot{\vec{r}}_1, \ldots, \dot{\vec{r}}_N, t) = 0 $$

Ejemplo clásico: una esfera que rueda sin deslizar sobre un plano. La condición $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{R}$ no es integrable a una relación entre coordenadas.

Importante

Las ecuaciones de Euler-Lagrange en su forma estándar solo son aplicables directamente a sistemas con ligaduras holonómicas. Para sistemas no holonómicos se requiere el método de multiplicadores de Lagrange.

Ligaduras Esclerónomas vs. Reónomas

Tipo	Definición	Ejemplo
Esclerónoma	No depende explícitamente del tiempo: $f(\vec{r}_i) = 0$	Partícula sobre esfera fija
Reónoma	Depende explícitamente del tiempo: $f(\vec{r}_i, t) = 0$	Partícula sobre esfera cuyo radio varía con el tiempo

3.3 Definición de Coordenadas Generalizadas

Las coordenadas generalizadas $\{q_1, q_2, \ldots, q_n\}$ son cualquier conjunto de $n$ parámetros independientes que describen unívocamente la configuración del sistema, donde $n$ es el número de grados de libertad.

Las coordenadas cartesianas de cada partícula se expresan como funciones de las coordenadas generalizadas:

$$ \vec{r}_i = \vec{r}_i(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) \qquad i = 1, 2, \ldots, N $$

Las coordenadas generalizadas no necesitan ser longitudes o ángulos convencionales. Pueden ser cualquier magnitud físicamente significativa. Las velocidades generalizadas son sus derivadas temporales:

$$ \dot{q}_j = \frac{dq_j}{dt} $$

Ventaja fundamental

Al elegir coordenadas generalizadas que "absorben" las ligaduras holonómicas, el número de ecuaciones de Euler-Lagrange se reduce exactamente al número de grados de libertad, y las fuerzas de ligadura no aparecen en las ecuaciones.

3.4 Espacio de Configuración

El espacio de configuración de un sistema con $n$ grados de libertad es un espacio $n$-dimensional donde cada punto representa una configuración posible del sistema. Las coordenadas en este espacio son las coordenadas generalizadas $(q_1, \ldots, q_n)$.

La evolución temporal del sistema describe una curva (trayectoria) en el espacio de configuración. Cada punto sobre esta curva corresponde a la configuración del sistema en un instante dado.

Ejemplo: Péndulo doble

Un péndulo doble plano tiene 2 grados de libertad: los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$. Su espacio de configuración es un toro bidimensional $\mathbb{T}^2 = S^1 \times S^1$, ya que cada ángulo es periódico (módulo $2\pi$).

3.5 Energía Cinética en Coordenadas Generalizadas

La energía cinética de un sistema de $N$ partículas es:

$$ T = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} m_i \dot{\vec{r}}_i^2 $$

Expresando $\vec{r}_i$ en términos de coordenadas generalizadas:

$$ \dot{\vec{r}}_i = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} $$

Sustituyendo en $T$ se obtiene la forma cuadrática general:

$$ T = \frac{1}{2}\sum_{j,k} m_{jk}(q,t) \, \dot{q}_j \dot{q}_k + \sum_j a_j(q,t) \, \dot{q}_j + T_0(q,t) $$

Para sistemas con ligaduras esclerónomas ($\partial \vec{r}_i / \partial t = 0$), la energía cinética es una forma cuadrática homogénea en las velocidades:

$$ T = \frac{1}{2}\sum_{j,k} m_{jk}(q) \, \dot{q}_j \dot{q}_k $$

La matriz $m_{jk}$ es simétrica, definida positiva y depende en general de las coordenadas generalizadas.

3.6 Ejemplo: Péndulo en Coordenadas Generalizadas

Consideremos un péndulo simple de longitud $\ell$ y masa $m$.

Coordenadas cartesianas: $x = \ell\sin\theta$, $y = -\ell\cos\theta$

Coordenada generalizada: $\theta$ (1 grado de libertad, pues la ligadura $x^2+y^2=\ell^2$ reduce los 2 grados originales a 1).

Energía cinética:

$$ T = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 $$

Energía potencial: $V = mgy = -mg\ell\cos\theta$

Lagrangiano:

$$ L = T - V = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta $$

Ecuación de Euler-Lagrange:

$$ \frac{\partial L}{\partial \theta} = -mg\ell\sin\theta, \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m\ell^2\dot{\theta} $$ $$ \Rightarrow m\ell^2\ddot{\theta} + mg\ell\sin\theta = 0 \Rightarrow \ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 $$

Notemos que no aparece la tensión de la cuerda (fuerza de ligadura) en absoluto.

3.7 Resumen del Capítulo

Los grados de libertad son el número de coordenadas independientes necesarias.
Las ligaduras holonómicas se expresan como $f(q,t)=0$ y permiten usar Euler-Lagrange directamente.
Las coordenadas generalizadas son cualquier conjunto de $n$ parámetros que describen el sistema.
El espacio de configuración es el espacio $n$-dimensional de las coordenadas generalizadas.
La energía cinética en coordenadas generalizadas tiene estructura cuadrática en las velocidades.
La elección inteligente de coordenadas generalizadas simplifica enormemente el problema.

3.1 Grados de Libertad

Ejemplos

3.2 Ligaduras

Ligaduras Holonómicas

Ligaduras No Holonómicas

Importante

Ligaduras Esclerónomas vs. Reónomas

3.3 Definición de Coordenadas Generalizadas

Ventaja fundamental

3.4 Espacio de Configuración

Ejemplo: Péndulo doble

3.5 Energía Cinética en Coordenadas Generalizadas

3.6 Ejemplo: Péndulo en Coordenadas Generalizadas

3.7 Resumen del Capítulo

Evaluación - Capítulo 3

Pregunta 1: ¿Cuántos grados de libertad tiene un péndulo simple plano?

Pregunta 2: Una partícula libre en el espacio tridimensional tiene:

Pregunta 3: Una ligadura holonómica se expresa como:

Pregunta 4: Una ligadura esclerónoma es aquella que:

Pregunta 5: ¿Cuál es el espacio de configuración de un péndulo doble plano?

Pregunta 6: En la formulación lagrangiana, las fuerzas de ligadura:

Pregunta 7: Para sistemas con ligaduras esclerónomas, la energía cinética es:

Pregunta 8: Una esfera que rueda sin deslizar es un ejemplo de sistema con ligaduras:

Pregunta 9: Si $N=2$ partículas libres en 3D se unen con una varilla rígida de longitud fija, ¿cuántos grados de libertad tiene el sistema?

Pregunta 10: La matriz $m_{jk}$ en la expresión $T = \frac{1}{2}\sum m_{jk}\dot{q}_j\dot{q}_k$ es: