Capítulo 4

Principio de Hamilton

Prof. Mariano Miguel Lanzi

4.1 Enunciado del Principio

El Principio de Hamilton (también llamado Principio de Mínima Acción) es el postulado fundamental de la mecánica analítica:

Principio de Hamilton: De todas las trayectorias posibles que un sistema puede seguir entre dos configuraciones fijas en los instantes $t_1$ y $t_2$, la trayectoria real es aquella que hace estacionaria la acción $S$.

La acción $S$ se define como la integral temporal del lagrangiano:

$$ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt $$

La condición de estacionariedad es $\delta S = 0$, donde $\delta S$ es la primera variación de la acción ante un cambio infinitesimal en la trayectoria, manteniendo fijos los extremos:

$$ \delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0 $$

4.2 Equivalencia con las Ecuaciones de Euler-Lagrange

Demostremos que el Principio de Hamilton implica las ecuaciones de Euler-Lagrange. Consideremos una variación $\delta q(t)$ de la trayectoria. La variación de la acción es:

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt $$

Dado que $\delta \dot{q} = \frac{d}{dt}(\delta q)$, integramos por partes el segundo término:

$$ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt}(\delta q) \, dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \delta q \, dt $$

El término de frontera se anula porque $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$. Entonces:

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \right] \delta q \, dt = 0 $$

Para que esta integral sea cero para toda variación $\delta q(t)$ admisible, el integrando debe anularse:

$$ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) = 0 $$

Queda así demostrada la equivalencia entre el Principio de Hamilton y las ecuaciones de Euler-Lagrange.

4.3 Significado Físico y Filosófico

El Principio de Hamilton representa un cambio profundo de perspectiva respecto a Newton:

NewtonHamilton
Causalidad local: fuerzas $\to$ aceleracionesPrincipio global: la trayectoria completa minimiza $S$
Ecuaciones diferenciales como punto de partidaPrincipio variacional integral como punto de partida
El espacio y el tiempo son absolutosLa acción es el concepto fundamental

"Mínima" es un nombre engañoso

El Principio de Hamilton solo exige que la acción sea estacionaria ($\delta S = 0$), no necesariamente mínima. Puede ser un máximo, un mínimo o un punto de silla. El nombre "principio de mínima acción" es histórico y se mantiene por tradición.

4.4 No Unicidad del Lagrangiano

El lagrangiano de un sistema físico no es único. Dos lagrangianos que difieren en una derivada total respecto al tiempo producen las mismas ecuaciones de movimiento.

Si:

$$ L'(q, \dot{q}, t) = L(q, \dot{q}, t) + \frac{d}{dt}F(q, t) $$

entonces las acciones correspondientes difieren solo en términos de frontera:

$$ S' = \int_{t_1}^{t_2} L' \, dt = S + F(q(t_2), t_2) - F(q(t_1), t_1) $$

Como $q(t_1)$ y $q(t_2)$ están fijos, $\delta S' = \delta S = 0$ produce las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange.

Invariancia de gauge del lagrangiano

Esta libertad es análoga a la invariancia de gauge en electromagnetismo. Permite elegir la forma más conveniente del lagrangiano sin alterar la física.

4.5 Extensión a Sistemas Continuos

Una de las mayores virtudes del Principio de Hamilton es su generalización natural a sistemas con infinitos grados de libertad (campos). Para un campo $\phi(\vec{r}, t)$, el lagrangiano se reemplaza por una densidad lagrangiana $\mathcal{L}$:

$$ S = \int_{t_1}^{t_2} dt \int d^3r \; \mathcal{L}\left(\phi, \partial_\mu \phi\right) $$

La condición $\delta S = 0$ conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos:

$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0 $$

Esta formulación es la base de la teoría cuántica de campos y de toda la física moderna de partículas.

4.6 Resumen del Capítulo

  • El Principio de Hamilton: $\delta S = 0$, donde $S = \int L \, dt$, es el postulado fundamental de la mecánica analítica.
  • Es equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange.
  • El principio es global (considera la trayectoria completa), no local.
  • El lagrangiano no es único: dos lagrangianos que difieren en una derivada total producen la misma física.
  • Se generaliza naturalmente a sistemas continuos (teoría de campos).

Evaluación - Capítulo 4

Pregunta 1: El Principio de Hamilton establece que la trayectoria real hace que la acción sea:

Pregunta 2: La acción $S$ se define como:

Pregunta 3: En el Principio de Hamilton, ¿qué condiciones se imponen en los extremos?

Pregunta 4: Dos lagrangianos que difieren en una derivada total $dF/dt$ producen:

Pregunta 5: El Principio de Hamilton es un principio de tipo:

Pregunta 6: Para un campo $\phi$, la acción se escribe en términos de:

Pregunta 7: ¿Cuál es una ventaja del Principio de Hamilton sobre la formulación newtoniana?

Pregunta 8: ¿Qué ocurre con el término de frontera $[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q]_{t_1}^{t_2}$ al derivar Euler-Lagrange?

Pregunta 9: La "invariancia de gauge" del lagrangiano se refiere a:

Pregunta 10: La ecuación de Euler-Lagrange para campos es: