Capítulo 6

Aplicaciones a Sistemas Simples

Prof. Mariano Miguel Lanzi

6.1 Péndulo Simple

Coordenada generalizada: $\theta$. Lagrangiano:

$$ L = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta $$

Ecuación de movimiento:

$$ \ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 $$

Para ángulos pequeños ($\sin\theta \approx \theta$): $\ddot{\theta} + \omega_0^2\theta = 0$, con $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$.

6.2 Péndulo Doble

Dos masas $m_1, m_2$ y longitudes $\ell_1, \ell_2$. Coordenadas: $\theta_1, \theta_2$.

Energía cinética:

$$ T = \frac{1}{2}m_1\ell_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2\left[\ell_1^2\dot{\theta}_1^2 + \ell_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2\ell_1\ell_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right] $$

Las ecuaciones resultantes son altamente no lineales. El péndulo doble es el ejemplo paradigmático de caos determinista en sistemas hamiltonianos de pocos grados de libertad.

Caos en el péndulo doble

Para energías suficientemente altas, el péndulo doble exhibe sensibilidad extrema a las condiciones iniciales: dos trayectorias que parten de condiciones casi idénticas divergen exponencialmente en el espacio de fases.

6.3 Máquina de Atwood

Dos masas $m_1$ y $m_2$ unidas por una cuerda inextensible que pasa por una polea ideal.

Coordenada generalizada: $x$ (posición vertical de $m_1$, con $m_2$ en $h-x$).

$$ L = \frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{x}^2 + (m_1-m_2)gx $$

Ecuación de movimiento:

$$ (m_1+m_2)\ddot{x} = (m_1-m_2)g \quad\Rightarrow\quad \ddot{x} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,g $$

Notablemente, la tensión de la cuerda no aparece en el lagrangiano ni en la ecuación resultante.

6.4 Partícula sobre un Aro Giratorio

Una cuenta de masa $m$ se desliza sin fricción sobre un aro de radio $R$ que gira con velocidad angular constante $\omega$ alrededor de un diámetro vertical.

Coordenada generalizada: $\theta$ (ángulo respecto a la vertical).

Energía cinética (componente de rotación más la del aro):

$$ T = \frac{1}{2}mR^2(\dot{\theta}^2 + \omega^2\sin^2\theta) $$

Lagrangiano:

$$ L = \frac{1}{2}mR^2(\dot{\theta}^2 + \omega^2\sin^2\theta) - mgR(1-\cos\theta) $$

Ecuación de movimiento:

$$ \ddot{\theta} = \sin\theta\left(\omega^2\cos\theta - \frac{g}{R}\right) $$

Los puntos de equilibrio se obtienen para $\sin\theta = 0$ ($\theta = 0, \pi$) y $\cos\theta = g/(R\omega^2)$. La estabilidad depende de $\omega$.

6.5 Péndulo con Resorte

Una masa $m$ suspendida de un resorte de constante $k$ y longitud natural $\ell_0$ que puede oscilar en un plano.

Coordenadas generalizadas: $r$ (longitud del resorte) y $\theta$ (ángulo).

$$ L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - \frac{1}{2}k(r-\ell_0)^2 + mgr\cos\theta $$

Ecuaciones acopladas:

$$ m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 - k(r-\ell_0) + mg\cos\theta $$ $$ \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = -mgr\sin\theta $$

6.6 Resumen del Capítulo

  • La formulación lagrangiana simplifica drásticamente problemas con ligaduras.
  • El péndulo doble es un sistema caótico paradigmático.
  • La máquina de Atwood muestra cómo las fuerzas de ligadura desaparecen del formalismo.
  • El aro giratorio ilustra sistemas con parámetros dependientes del tiempo.
  • El péndulo con resorte muestra acoplamiento entre grados de libertad.

Evaluación - Capítulo 6

Pregunta 1: La frecuencia de oscilación del péndulo simple para ángulos pequeños es:

Pregunta 2: ¿Cuántos grados de libertad tiene un péndulo doble?

Pregunta 3: En la máquina de Atwood, la tensión de la cuerda:

Pregunta 4: El péndulo doble es importante en física porque:

Pregunta 5: En el aro giratorio, los puntos de equilibrio se obtienen para:

Pregunta 6: En la máquina de Atwood, la aceleración es:

Pregunta 7: En el péndulo con resorte, ¿cuántas coordenadas generalizadas se necesitan?

Pregunta 8: El caos determinista implica que:

Pregunta 9: ¿Qué tipo de ligadura tiene la máquina de Atwood?

Pregunta 10: En el péndulo con resorte, el término $mr\dot{\theta}^2$ en la ecuación para $\ddot{r}$ representa: