Capítulo 7

Fuerzas Centrales y Problema de Kepler

Prof. Mariano Miguel Lanzi

7.1 Reducción al Problema de un Cuerpo

Dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$ que interactúan mediante un potencial $V(|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|)$. Definiendo:

$$ \vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2} \quad \text{(centro de masa)}, \qquad \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 $$

El lagrangiano en estas coordenadas se separa:

$$ L = \frac{1}{2}M\dot{\vec{R}}^2 + \frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2 - V(r) $$

donde $M = m_1+m_2$ es la masa total y $\mu = m_1m_2/(m_1+m_2)$ es la masa reducida.

El centro de masa se mueve con velocidad constante (coordenada cíclica). El problema se reduce al movimiento de una partícula de masa $\mu$ en un potencial central $V(r)$.

7.2 Leyes de Conservación y Potencial Efectivo

En coordenadas polares $(r, \theta)$, el lagrangiano es:

$$ L = \frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r) $$

$\theta$ es cíclica $\to$ conservación del momento angular:

$$ \ell = \mu r^2 \dot{\theta} = \text{constante} $$

La energía también se conserva ($\partial L / \partial t = 0$):

$$ E = \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + \frac{\ell^2}{2\mu r^2} + V(r) $$

Esto tiene la forma de un problema unidimensional con potencial efectivo:

$$ V_{\text{ef}}(r) = V(r) + \frac{\ell^2}{2\mu r^2} $$

El término $\ell^2/(2\mu r^2)$ es la barrera centrífuga, que impide que la partícula alcance $r=0$ (salvo que $\ell = 0$).

7.3 Ecuación de la Órbita

Para obtener la forma de la órbita $r(\theta)$, se usa la regla de la cadena y la conservación de $\ell$:

$$ \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta}\dot{\theta} = \frac{\ell}{\mu r^2}\frac{dr}{d\theta} $$

Es conveniente el cambio de variable $u = 1/r$. La ecuación de la órbita resulta:

$$ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{\mu}{\ell^2 u^2}F(1/u) $$

donde $F(r) = -dV/dr$ es la fuerza central. Esta es la ecuación de Binet.

7.4 El Problema de Kepler

Para el potencial gravitatorio $V(r) = -k/r$ (con $k = GMm$), la ecuación de la órbita es:

$$ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu k}{\ell^2} $$

La solución es una cónica:

$$ r(\theta) = \frac{p}{1 + e\cos\theta} $$

donde $p = \ell^2/(\mu k)$ es el semilatus rectum y $e$ es la excentricidad:

$$ e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}} $$
$e$EnergíaÓrbita
$e=0$$E = -\mu k^2/(2\ell^2)$Circunferencia
$0 < e < 1$$E < 0$Elipse
$e=1$$E = 0$Parábola
$e > 1$$E > 0$Hipérbola

7.5 Las Tres Leyes de Kepler

  1. Primera Ley: Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.
  2. Segunda Ley: El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales ($dA/dt = \ell/(2\mu) = \text{constante}$).
  3. Tercera Ley: El cuadrado del período es proporcional al cubo del semieje mayor: $T^2 \propto a^3$.

Estas leyes, originalmente empíricas, se deducen naturalmente de la formulación lagrangiana con potencial $V \propto -1/r$.

7.6 Resumen del Capítulo

  • El problema de dos cuerpos se reduce a uno de un cuerpo con masa reducida $\mu$.
  • El potencial efectivo $V_{\text{ef}} = V(r) + \ell^2/(2\mu r^2)$ reduce el problema radial a 1D.
  • La ecuación de Binet determina la forma de la órbita.
  • Para $V = -k/r$, las órbitas son cónicas (elipses, parábolas, hipérbolas).
  • Las leyes de Kepler se deducen directamente de las leyes de conservación.

Evaluación - Capítulo 7

Pregunta 1: La masa reducida $\mu$ para dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$ es:

Pregunta 2: En un potencial central, ¿qué coordenada es cíclica?

Pregunta 3: El potencial efectivo $V_{\text{ef}}(r)$ es:

Pregunta 4: La forma general de una órbita kepleriana es una:

Pregunta 5: La segunda ley de Kepler (ley de las áreas) es consecuencia de:

Pregunta 6: Para una órbita elíptica, la excentricidad $e$ satisface:

Pregunta 7: La barrera centrífuga impide que una partícula con $\ell \neq 0$:

Pregunta 8: ¿Qué tipo de órbita corresponde a $E > 0$ en el problema de Kepler?

Pregunta 9: La ecuación de Binet relaciona:

Pregunta 10: La tercera ley de Kepler ($T^2 \propto a^3$) es válida para: