Capítulo 8

Pequeñas Oscilaciones

Prof. Mariano Miguel Lanzi

8.1 Expansión alrededor del Equilibrio

Consideremos un sistema con $n$ grados de libertad cerca de una configuración de equilibrio estable $\{q_{0i}\}$.

Expandimos la energía potencial alrededor del equilibrio:

$$ V(q) \approx V(q_0) + \sum_i \left.\frac{\partial V}{\partial q_i}\right|_{q_0} \!\! (q_i - q_{0i}) \; + \; \frac{1}{2}\sum_{i,j} \left.\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}\right|_{q_0} \!\! (q_i - q_{0i})(q_j - q_{0j}) + \cdots $$

En el equilibrio, $\partial V / \partial q_i = 0$. Definimos las coordenadas de desplazamiento $\eta_i = q_i - q_{0i}$ y la matriz hessiana:

$$ V_{ij} = \left.\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}\right|_{q_0} $$

La energía cinética (para ligaduras esclerónomas) es:

$$ T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} m_{ij}(q)\,\dot{q}_i\dot{q}_j \approx \frac{1}{2}\sum_{i,j} T_{ij} \, \dot{\eta}_i\dot{\eta}_j $$

donde $T_{ij} = m_{ij}(q_0)$ es la matriz de masa evaluada en el equilibrio.

8.2 Ecuaciones Linealizadas

El lagrangiano aproximado es:

$$ L = \frac{1}{2}\sum_{i,j}\left( T_{ij}\,\dot{\eta}_i\dot{\eta}_j - V_{ij}\,\eta_i\eta_j \right) $$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange linealizadas son:

$$ \sum_j \left( T_{ij}\,\ddot{\eta}_j + V_{ij}\,\eta_j \right) = 0 $$

En forma matricial: $\mathbf{T}\,\ddot{\boldsymbol{\eta}} + \mathbf{V}\,\boldsymbol{\eta} = \mathbf{0}$.

8.3 Modos Normales de Vibración

Buscamos soluciones de la forma $\boldsymbol{\eta}(t) = \mathbf{a}\,e^{i\omega t}$ (parte real implícita). Sustituyendo:

$$ \left( \mathbf{V} - \omega^2 \mathbf{T} \right) \mathbf{a} = \mathbf{0} $$

Esta es una ecuación de autovalores generalizada. Para soluciones no triviales:

$$ \det\left( \mathbf{V} - \omega^2 \mathbf{T} \right) = 0 $$

Las $n$ raíces $\omega_\alpha^2$ (con $\alpha = 1, \ldots, n$) son las frecuencias propias del sistema. Para equilibrio estable, todas son positivas.

Cada frecuencia propia $\omega_\alpha$ tiene asociado un modo normal $\mathbf{a}^{(\alpha)}$. Los modos normales satisfacen condiciones de ortogonalidad:

$$ \mathbf{a}^{(\alpha)T}\,\mathbf{T}\,\mathbf{a}^{(\beta)} = \delta_{\alpha\beta}, \qquad \mathbf{a}^{(\alpha)T}\,\mathbf{V}\,\mathbf{a}^{(\beta)} = \omega_\alpha^2\,\delta_{\alpha\beta} $$

8.4 Coordenadas Normales

Definimos las coordenadas normales $Q_\alpha$ mediante la transformación:

$$ \eta_i = \sum_{\alpha} a_i^{(\alpha)} Q_\alpha $$

En estas coordenadas, el lagrangiano se diagonaliza completamente:

$$ L = \frac{1}{2}\sum_{\alpha}\left( \dot{Q}_\alpha^2 - \omega_\alpha^2 Q_\alpha^2 \right) $$

Cada coordenada normal evoluciona como un oscilador armónico independiente:

$$ \ddot{Q}_\alpha + \omega_\alpha^2 Q_\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad Q_\alpha(t) = A_\alpha \cos(\omega_\alpha t + \phi_\alpha) $$

La solución general es una superposición de modos normales:

$$ \eta_i(t) = \sum_{\alpha} a_i^{(\alpha)} A_\alpha \cos(\omega_\alpha t + \phi_\alpha) $$

8.5 Ejemplo: Dos Masas y Tres Resortes

Dos masas $m$ iguales unidas por resortes de constante $k$ (los extremos fijos a paredes).

Coordenadas: desplazamientos $x_1, x_2$ desde el equilibrio.

$$ T = \frac{1}{2}m(\dot{x}_1^2 + \dot{x}_2^2), \quad V = \frac{1}{2}k\left[x_1^2 + (x_2-x_1)^2 + x_2^2\right] $$

Matrices:

$$ \mathbf{T} = m\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{V} = k\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} $$

Ecuación de autovalores: $\det(\mathbf{V} - \omega^2\mathbf{T}) = 0$:

$$ \begin{vmatrix} 2k - m\omega^2 & -k \\ -k & 2k - m\omega^2 \end{vmatrix} = 0 \;\Rightarrow\; (2k-m\omega^2)^2 - k^2 = 0 $$

Frecuencias propias:

$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad \text{(modo antisimétrico)}, \qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{3k}{m}} \quad \text{(modo simétrico)} $$

8.6 Resumen del Capítulo

  • Expandir $T$ y $V$ alrededor del equilibrio produce ecuaciones lineales acopladas.
  • Los modos normales son soluciones oscilatorias independientes con frecuencias $\omega_\alpha$.
  • Las frecuencias propias se obtienen de $\det(\mathbf{V} - \omega^2\mathbf{T}) = 0$.
  • En coordenadas normales el sistema se desacopla en $n$ osciladores armónicos independientes.
  • El movimiento general es una superposición de modos normales.

Evaluación - Capítulo 8

Pregunta 1: En la expansión alrededor del equilibrio, ¿por qué se anula el término lineal de $V$?

Pregunta 2: La ecuación para los modos normales es:

Pregunta 3: Las coordenadas normales $Q_\alpha$ tienen la propiedad de que:

Pregunta 4: ¿Cuántos modos normales tiene un sistema con $n$ grados de libertad?

Pregunta 5: Para el sistema de dos masas y tres resortes iguales, las frecuencias son:

Pregunta 6: La matriz de masa $T_{ij}$ se evalúa en:

Pregunta 7: Para que el equilibrio sea estable, las frecuencias propias deben ser:

Pregunta 8: La ecuación $\det(\mathbf{V} - \omega^2\mathbf{T}) = 0$ es una ecuación:

Pregunta 9: La solución general para las coordenadas normales es:

Pregunta 10: Los modos normales satisfacen condiciones de: