Capítulo 1 — Límites
1. Noción intuitiva de límite
El concepto de límite describe el comportamiento de una función $f(x)$ cuando la variable independiente $x$ se aproxima a un valor fijo $a$, sin necesariamente alcanzarlo. No nos interesa el valor de $f$ en $a$ (que podría no estar definido), sino la tendencia de $f(x)$ en las cercanías de $a$.
Idea intuitiva
Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$, y escribimos $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$, si podemos hacer que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como queramos, siempre que $x$ se encuentre suficientemente próximo a $a$ (pero $x \neq a$).
Consideremos la función $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$. Notemos que $f$ no está definida en $x=1$ (se anula el denominador). Sin embargo, para $x\neq 1$ podemos simplificar la expresión:
Construimos una tabla con valores de $f(x)$ para $x$ cercanos a $1$, tanto por izquierda como por derecha:
| $x$ | 0.9 | 0.99 | 0.999 | → 1 ← | 1.001 | 1.01 | 1.1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 1.9 | 1.99 | 1.999 | ? | 2.001 | 2.01 | 2.1 |
Se observa que a medida que $x$ se aproxima a $1$, los valores de $f(x)$ se aproximan a $2$. Concluimos que:
El valor del límite existe aunque la función no esté definida en $x=1$. El límite describe la tendencia, no necesariamente el valor puntual.
2. Definición formal épsilon-delta
La noción intuitiva de «acercarse» debe formalizarse para poder demostrar teoremas con rigor. La definición $\varepsilon$-$\delta$, introducida por Cauchy y Weierstrass, captura la idea de aproximación arbitraria.
Definición de límite finito
Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto alrededor de $a$, excepto posiblemente en $a$ mismo. Decimos que
si para cada número $\varepsilon>0$ (por más pequeño que sea) existe un número $\delta>0$ tal que
En palabras: podemos garantizar que $f(x)$ difiere de $L$ en menos de $\varepsilon$ siempre que $x$ difiera de $a$ en menos de $\delta$, sin ser igual a $a$. La condición $0<|x-a|$ excluye explícitamente el punto $x=a$.
Geométricamente, dado un «tubo» horizontal de altura $2\varepsilon$ alrededor de $L$, existe un intervalo $(a-\delta,\,a+\delta)$ (excluyendo $a$) cuya imagen está completamente contenida en ese tubo. Cuanto más pequeño sea $\varepsilon$, más pequeño será el $\delta$ requerido.
3. Propiedades de límites
Supongamos que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)=M$, con $L,M\in\mathbb{R}$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades algebraicas.
Propiedades fundamentales
- Suma: $\displaystyle\lim_{x \to a}\bigl[f(x)+g(x)\bigr] = L+M$
- Resta: $\displaystyle\lim_{x \to a}\bigl[f(x)-g(x)\bigr] = L-M$
- Producto: $\displaystyle\lim_{x \to a}\bigl[f(x)\,g(x)\bigr] = L\cdot M$
- Cociente: $\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, siempre que $M\neq 0$
- Constante: $\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$, para cualquier $c\in\mathbb{R}$
- Múltiplo escalar: $\displaystyle\lim_{x \to a} k\cdot f(x) = k\cdot L$
Estas reglas permiten «descomponer» límites complejos en partes más simples. A continuación las expresamos en forma de ecuaciones:
4. Unicidad del límite
Un teorema central de la teoría de límites afirma que si el límite existe, es único. Una función no puede tender a dos valores distintos cuando $x$ se aproxima a $a$.
Teorema: Unicidad del límite
Si $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=L$ y $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=M$, entonces $L=M$.
Demostración (bosquejo)
Dado $\varepsilon>0$, existen $\delta_1,\delta_2>0$ tales que $|f(x)-L|<\varepsilon/2$ cuando $0<|x-a|<\delta_1$, y $|f(x)-M|<\varepsilon/2$ cuando $0<|x-a|<\delta_2$. Tomando $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, para $0<|x-a|<\delta$ se tiene por desigualdad triangular:
Como $\varepsilon$ es arbitrario, debe ser $|L-M|=0$, de donde $L=M$. $\quad\blacksquare$
Este resultado se demuestra directamente a partir de la definición $\varepsilon$-$\delta$ y justifica que hablemos de el límite (no de un límite).
5. Álgebra de límites y cálculo directo
Cuando las funciones involucradas son polinomios o funciones racionales cuyo denominador no se anula en $a$, el límite puede calcularse por sustitución directa.
Límites de polinomios
Si $p(x)=c_n x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1 x+c_0$, entonces:
Límites de funciones racionales
Si $r(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ y $q(a)\neq 0$, entonces:
Ejemplo: $\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x^{2}-5x+1)=3(4)-5(2)+1=12-10+1=3$.
Ejemplo: $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+3x+2}{x+2}=\frac{1-3+2}{1}=0$ (el denominador en $x=-1$ es $1\neq 0$).
Caso $0/0$: simplificación previa
Cuando tanto el numerador como el denominador se anulan en $x=a$, debemos factorizar y simplificar antes de evaluar, como en el ejemplo inicial $\frac{x^{2}-1}{x-1}$.
6. Límites laterales
En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a $a$ exclusivamente por un lado. Esto da lugar a los límites laterales.
Límite por izquierda
El límite cuando $x$ tiende a $a$ por valores menores que $a$ (por la izquierda) se denota:
Límite por derecha
El límite cuando $x$ tiende a $a$ por valores mayores que $a$ (por la derecha) se denota:
Teorema: Existencia del límite
El límite ordinario $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)$ existe y es igual a $L$ si y solo si existen ambos límites laterales y coinciden:
Ejemplo: Sea $g(x)=\begin{cases}x+1,& x<2\\ x^{2}-1,& x>2\end{cases}$. Entonces $\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}g(x)=3$ y $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}g(x)=3$, por lo que $\displaystyle\lim_{x\to 2}g(x)=3$.
7. Límites trigonométricos notables
Dos límites fundamentales aparecen repetidamente en el cálculo de derivadas de funciones trigonométricas y en desarrollos en serie.
Límite fundamental 1
Este resultado se demuestra geométricamente mediante la desigualdad $\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1$ para $x\in(0,\pi/2)$, y aplicando el teorema del emparedado (sandwich).
Límite fundamental 2
Se obtiene multiplicando numerador y denominador por $1+\cos x$:
Estos límites son la base para deducir las derivadas de $\operatorname{sen} x$ y $\cos x$ en el Capítulo 4.