Capítulo 4 — La Derivada
1. Cociente incremental y recta secante
El concepto de derivada surge de la necesidad de cuantificar la tasa de cambio instantánea de una función. El punto de partida es el cociente incremental (o cociente de diferencias), que mide la variación promedio de $f$ entre dos puntos cercanos:
Geométricamente, este cociente es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $P(a, f(a))$ y $Q(a+h, f(a+h))$. A medida que $h$ se hace más pequeño, el punto $Q$ se aproxima a $P$ y la recta secante tiende a convertirse en la recta tangente.
Interpretación física
Si $s(t)$ describe la posición de un móvil en función del tiempo, el cociente incremental $\displaystyle\frac{s(t+h) - s(t)}{h}$ es la velocidad media en el intervalo $[t, t+h]$. La derivada $s'(t)$ (límite cuando $h \to 0$) será la velocidad instantánea en el instante $t$.
2. Definición de derivada
La derivada de una función $f$ en un punto $a$ se define como el límite del cociente incremental cuando $h$ tiende a cero:
Equivalentemente, utilizando la notación $x = a + h$, se tiene:
Si este límite existe y es finito, se dice que $f$ es diferenciable (o derivable) en $a$. La función derivada $f'(x)$ se define para todo $x$ del dominio donde el límite existe, dando origen a una nueva función: la función derivada.
Ejemplo: derivada de $f(x) = x^2$
Calculamos usando la definición en $x = a$:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a.$$
Por tanto, la derivada de $x^2$ es $2x$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
3. Interpretación geométrica
Geométricamente, $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$. A medida que $h$ se hace más y más pequeño, la recta secante rota en torno al punto fijo $P$ y en el límite se convierte en la recta tangente.
La pendiente instantánea $f'(a)$ mide la velocidad a la que cambia $f(x)$ en el instante $x = a$. Si $f'(a) \gt 0$, la función crece en ese punto; si $f'(a) \lt 0$, decrece; si $f'(a) = 0$, la recta tangente es horizontal (posible máximo, mínimo o punto de inflexión).
Recta normal
La recta normal a la gráfica de $f$ en $(a, f(a))$ es perpendicular a la recta tangente. Si $f'(a) \neq 0$, su pendiente es $-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}$ y su ecuación es: $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$.
4. Diferenciabilidad implica continuidad
Teorema
Si $f$ es diferenciable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$.
La demostración es directa: para $x \neq a$, escribimos
Tomando límite cuando $x \to a$:
Así, $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, lo que prueba la continuidad en $a$. La implicación es estricta: el recíproco no es cierto. La función $f(x) = |x|$ es continua en $x = 0$ pero no es diferenciable en ese punto, como veremos en la siguiente sección.
Continuidad NO implica diferenciabilidad
Existen funciones continuas que no son diferenciables en ningún punto (como la función de Weierstrass). Por tanto, la diferenciabilidad es una propiedad más fuerte que la continuidad.
5. Derivadas laterales
Así como existen límites laterales, la derivada puede definirse por izquierda y por derecha. Esto es especialmente útil para analizar funciones definidas por tramos o puntos donde la función cambia de comportamiento:
$f$ es diferenciable en $a$ si y solo si ambas derivadas laterales existen, son finitas y coinciden: $f'_-(a) = f'_+(a) = f'(a)$.
Punto anguloso
Si las derivadas laterales existen pero son diferentes, la gráfica de $f$ presenta un punto anguloso (o pico) en $x = a$. El ejemplo paradigmático es $f(x) = |x|$ en $a = 0$: $f'_-(0) = -1$ y $f'_+(0) = 1$. La función es continua pero no diferenciable en $0$ porque la pendiente cambia abruptamente.
Otros ejemplos incluyen funciones definidas por tramos con diferentes expresiones algebraicas a izquierda y derecha del punto de empalme. El estudio de derivadas laterales permite determinar si la unión es suave (misma pendiente) o angulosa (pendientes distintas).
6. Notación de Leibniz y notación de Newton
Existen varias notaciones para la derivada. Las dos más utilizadas en cálculo y sus aplicaciones son:
Notación de Leibniz
Introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), utiliza diferenciales para representar la derivada como un cociente de infinitesimales:
$$\frac{df}{dx}, \qquad \frac{dy}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[f(x)\bigr]$$
La ventaja de esta notación es que sugiere naturalmente la regla de la cadena $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ y simplifica el tratamiento de integrales mediante el método de sustitución. La derivada segunda se escribe $\frac{d^2 f}{dx^2}$.
Notación de Newton
Introducida por Isaac Newton (1642–1727), utiliza un punto sobre la variable para denotar la derivada respecto del tiempo (derivada temporal):
$$\dot{f}, \qquad \dot{y}, \qquad \ddot{y}$$
Esta notación es predominante en física y mecánica, especialmente cuando la variable independiente es el tiempo $t$. La cantidad de puntos indica el orden de la derivada: $\dot{x}$ (velocidad), $\ddot{x}$ (aceleración).
Adicionalmente, la notación de Lagrange (primas) $f'(x)$, $f''(x)$ es la más común en textos de cálculo elemental por su simplicidad. La notación de Euler $Df$, $D^2 f$ se usa en análisis funcional y ecuaciones diferenciales. Cada notación tiene sus ventajas según el contexto.
7. Cálculo de derivadas elementales usando la definición
Aplicamos la definición de derivada para obtener las derivadas de funciones elementales. Estos ejemplos son el fundamento sobre el cual se construyen las reglas de derivación.
Función constante: $f(x) = c$
Función identidad: $f(x) = x$
Función cuadrática: $f(x) = x^2$
Raíz cuadrada: $f(x) = \sqrt{x}$
Función recíproca: $f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}$
Resumen de derivadas obtenidas por definición
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^2$ | $2x$ |
| $\sqrt{x}$ | $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\displaystyle\frac{1}{x}$ | $-\displaystyle\frac{1}{x^2}$ |
Cada uno de estos cálculos ilustra la esencia del proceso de derivación: manipulación algebraica para eliminar la indeterminación $0/0$ y luego evaluar el límite. En el próximo capítulo veremos reglas sistemáticas que evitan tener que recurrir a la definición en cada caso.