Capítulo 5 — Reglas de Derivación
1. Derivada de la suma y de la resta
La derivada de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de sus derivadas. Esta es la propiedad de linealidad del operador derivada.
Linealidad de la derivada
En general, para constantes $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ y funciones diferenciables $f$ y $g$:
Esto significa que la derivada es un operador lineal sobre el espacio de funciones diferenciables.
Por ejemplo, si $h(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x$, entonces $h'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$. Esta regla se extiende a cualquier combinación lineal finita de funciones diferenciables.
2. Derivada del producto
La derivada de un producto de dos funciones no es el producto de sus derivadas. La fórmula correcta, conocida como regla de Leibniz, es:
La demostración surge del límite del cociente incremental:
Para el producto de tres funciones, la regla se generaliza recursivamente:
Precaución común
Es un error frecuente creer que $(fg)' = f'g'$. La derivada del producto no se distribuye. Por ejemplo, con $f(x)=x^2$ y $g(x)=x^3$: $(x^2 \cdot x^3)' = (x^5)' = 5x^4$, mientras que $f'(x)g'(x) = (2x)(3x^2) = 6x^3$, que es incorrecto.
3. Derivada del cociente
Para dos funciones diferenciables con $g(x) \neq 0$, la derivada del cociente viene dada por:
Una forma mnemotécnica muy útil es: «derivada del primero por el segundo sin derivar, menos el primero sin derivar por la derivada del segundo, todo sobre el segundo al cuadrado».
En particular, para el recíproco $1/g(x)$:
4. Regla de la cadena
La regla de la cadena permite derivar la composición de dos funciones. Si $y = f(g(x))$, entonces:
En notación de Leibniz, si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces:
Idea intuitiva
La regla de la cadena nos dice que la tasa de cambio de $y$ respecto de $x$ es el producto de la tasa de cambio de $y$ respecto de $u$, multiplicada por la tasa de cambio de $u$ respecto de $x$. Las «fracciones» $dy/du$ y $du/dx$ se cancelan simbólicamente, aunque esto es solo una mnemotecnia.
Para funciones compuestas múltiples: $(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
5. Tabla de derivadas elementales
A continuación se presentan las derivadas de las funciones elementales más importantes. Estas fórmulas deben memorizarse y utilizarse en combinación con las reglas anteriores.
| Función $f(x)$ | Derivada $f'(x)$ | Condición |
|---|---|---|
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ | $n \in \mathbb{R}$ |
| $e^x$ | $e^x$ | — |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | $a > 0$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x > 0$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x \ln a}$ | $a > 0, a \neq 1$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | — |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | — |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | — |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ | — |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ | $x \neq k\pi$ |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $|x| < 1$ |
| $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $|x| < 1$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ | — |
Combinando esta tabla con la regla de la cadena se obtienen las derivadas de funciones compuestas: por ejemplo, $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} u'(x)$.
6. Derivación implícita
Cuando una relación entre $x$ e $y$ está dada por una ecuación de la forma $F(x, y) = 0$, donde no es posible (o conveniente) despejar $y$ en términos de $x$, se utiliza la derivación implícita.
El procedimiento consiste en derivar ambos lados de la ecuación respecto de $x$, tratando a $y$ como función de $x$ (es decir, $y = y(x)$) y aplicando la regla de la cadena cada vez que se derive un término que contenga $y$.
Ejemplo: la circunferencia unitaria
Dada la ecuación $x^2 + y^2 = 1$, derivamos ambos miembros respecto de $x$:
Despejando: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, válido para $y \neq 0$.
La derivación implícita es especialmente útil para curvas definidas por ecuaciones como $x^3 + y^3 = 6xy$ (folium de Descartes) o $e^{xy} + \ln(x+y) = 1$.
7. Derivadas de orden superior
La derivada de una función es, a su vez, una función. Si esta nueva función es diferenciable, podemos derivarla nuevamente, obteniendo la segunda derivada. Este proceso puede iterarse para obtener derivadas de cualquier orden.
Notaciones para la derivada $n$-ésima:
Las derivadas de orden superior tienen importantes interpretaciones físicas:
- Si $s(t)$ es la posición de una partícula, entonces $v(t) = s'(t)$ es la velocidad.
- La aceleración es la derivada de la velocidad: $a(t) = v'(t) = s''(t)$.
- El tirón (jerk) es la tercera derivada de la posición: $j(t) = s'''(t)$.
Derivadas de funciones elementales
Algunas funciones poseen patrones cíclicos en sus derivadas de orden superior:
- $f(x) = \sin x$: $f^{(n)}(x) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$
- $f(x) = e^{kx}$: $f^{(n)}(x) = k^n e^{kx}$
- $f(x) = \ln x$: $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}\,(n-1)!\, x^{-n}$