Capítulo 9 — Métodos de Integración
9.1 Integración por Sustitución o Cambio de Variable
El método de sustitución es la regla de la cadena en reversa. Si identificamos que el integrando contiene una función y su derivada, podemos simplificar la integral cambiando la variable.
Regla de Sustitución
Sea $u = g(x)$ una función diferenciable cuyo rango es un intervalo $I$, y sea $f$ continua en $I$. Entonces:
con $du = g'(x)\,dx$.
Ejemplo 1
Calcular $\displaystyle \int 2x\cos(x^2)\,dx$.
Hacemos $u = x^2$, entonces $du = 2x\,dx$. La integral se transforma en:
Ejemplo 2
Calcular $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$.
Sea $u = 1 + x^2$, $du = 2x\,dx$, de donde $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Entonces:
La clave es reconocer un factor que sea (salvo constante) la derivada de la función interna.
9.2 Sustitución en Integrales Definidas
Cuando aplicamos sustitución a una integral definida, existen dos caminos equivalentes:
- Calcular la primitiva en la variable $u$ y luego volver a $x$ para evaluar en los límites originales.
- Cambiar los límites de integración junto con la variable, lo cual suele ser más directo.
Fórmula con cambio de límites
Ejemplo
Calcular $\displaystyle \int_{0}^{1} 2x\sqrt{x^2+1}\,dx$.
Sea $u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$. Cuando $x = 0$, $u = 1$; cuando $x = 1$, $u = 2$. Por tanto:
9.3 Integración por Partes
La integración por partes es la regla del producto en reversa. Partiendo de $(uv)' = u'v + uv'$ e integrando:
La idea es elegir $u$ y $dv$ de modo que $\int v\,du$ sea más sencilla que la integral original.
Ejemplo 1: Polinomio por Exponencial
Calcular $\displaystyle \int x e^x\,dx$.
Elegimos $u = x$ $\Rightarrow$ $du = dx$, y $dv = e^x\,dx$ $\Rightarrow$ $v = e^x$.
Ejemplo 2: Logaritmo
Calcular $\displaystyle \int \ln x\,dx$. Lo escribimos como $\int \ln x \cdot 1\,dx$.
Tomamos $u = \ln x$, $dv = dx$, con $du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$.
Ejemplo 3: Integración por Partes Iterada
Calcular $\displaystyle \int x^2 e^x\,dx$.
$u = x^2$, $dv = e^x\,dx$, $du = 2x\,dx$, $v = e^x$.
Ahora aplicamos partes nuevamente a $\int x e^x\,dx$, obteniendo $e^x(x^2 - 2x + 2) + C$.
9.4 Estrategia LIATE para Elegir $u$
Al aplicar integración por partes, la elección de $u$ es crucial. La regla mnemotécnica LIATE indica la prioridad para elegir $u$ (de mayor a menor):
| Letra | Tipo de función | Ejemplos |
|---|---|---|
| L | Logarítmica | $\ln x$, $\log_a x$ |
| I | Trigonométrica Inversa | $\arcsin x$, $\arctan x$ |
| A | Algebraica | $x^n$, polinomios |
| T | Trigonométrica | $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ |
| E | Exponencial | $e^{ax}$, $b^x$ |
La prioridad es descendente: siempre que aparezca una función logarítmica, se la elige como $u$; si no hay, se busca una inversa trigonométrica, y así sucesivamente.
Ejemplo
$\displaystyle \int x^3 \ln x\,dx$. Según LIATE: L (logarítmica) precede a A (algebraica). Elegimos $u = \ln x$.
Error común
No confundir LIATE con un orden absoluto. A veces conviene tomar $u$ como la función cuyo diferencial es más simple, aun si no es la de mayor prioridad. La práctica y la experiencia son la mejor guía.
9.5 Integración de Funciones Racionales por Fracciones Parciales
Una función racional $P(x)/Q(x)$ con $\deg(P) < \deg(Q)$ puede descomponerse en suma de fracciones más simples que son integrables elementalmente.
Caso 1: Factores Lineales Distintos
Si $Q(x) = (x - a)(x - b)\cdots$, entonces:
Ejemplo: Calcular $\displaystyle \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx$.
Factorizamos: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Escribimos:
Multiplicando por $(x-1)(x+1)$: $1 = A(x+1) + B(x-1)$. Dando valores: $x = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$, $x = -1 \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$. Luego:
Caso 2: Factores Lineales Repetidos
Si $Q(x)$ contiene $(x-a)^n$, la descomposición incluye términos para cada potencia:
Ejemplo: $\displaystyle \int \frac{2x+1}{(x-1)^2}\,dx$. Escribimos:
$2x+1 = A(x-1) + B$. Para $x = 1$: $3 = B$. Comparando coeficientes: $2x + 1 = Ax - A + 3$, luego $A = 2$. Integrando:
9.6 Integrales Trigonométricas
Consideramos integrales de la forma $\displaystyle \int \sin^m x \cos^n x\,dx$. La estrategia depende de la paridad de $m$ y $n$.
Estrategia según paridad
- Si $m$ es impar: separar un factor $\sin x$, convertir el resto usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, y sustituir $u = \cos x$.
- Si $n$ es impar: separar un factor $\cos x$, usar $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, y sustituir $u = \sin x$.
- Si ambos son pares: usar las identidades de ángulo mitad.
Identidades Fundamentales
Ejemplo 1: Potencia impar de seno
$\displaystyle \int \sin^3 x\,dx$. $m = 3$ (impar).
Con $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:
Ejemplo 2: Potencias pares
$\displaystyle \int \sin^2 x\,dx$. Usamos la identidad de ángulo mitad:
9.7 Sustituciones Trigonométricas
Cuando el integrando contiene expresiones de la forma $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ o $\sqrt{x^2 - a^2}$, una sustitución trigonométrica elimina la raíz aprovechando identidades pitagóricas.
Tabla de Sustituciones
| Expresión | Sustitución | Identidad |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ |
Ejemplo 1: $\sqrt{a^2 - x^2}$
Calcular $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Sea $x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta\,d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$.
Ejemplo 2: $\sqrt{a^2 + x^2}$
Calcular $\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 1}$.
Sea $x = \tan\theta$, $dx = \sec^2\theta\,d\theta$, $x^2+1 = \tan^2\theta+1 = \sec^2\theta$.
Ejemplo 3: $\sqrt{x^2 - a^2}$
Calcular $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 4}}$ para $x > 2$.
Sea $x = 2\sec\theta$, $dx = 2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^2-4} = \sqrt{4\sec^2\theta-4} = 2\tan\theta$.