Capítulo 1 — Del Formalismo Lagrangiano al Hamiltoniano

1. Repaso del formalismo lagrangiano

La mecánica lagrangiana describe sistemas físicos mediante una función escalar $L(q_i, \dot{q}_i, t)$, denominada lagrangiana, definida como la diferencia entre la energía cinética $T$ y la energía potencial $V$: $$L(q, \dot{q}, t) = T - V.$$ Las coordenadas generalizadas $q_i$ (con $i = 1, \dots, n$) especifican completamente la configuración del sistema, mientras que las velocidades generalizadas $\dot{q}_i = dq_i/dt$ describen cómo evoluciona dicha configuración en el tiempo.

El principio de Hamilton o principio de mínima acción establece que la trayectoria real del sistema entre dos instantes $t_1$ y $t_2$ es aquella que hace estacionaria la funcional acción: $$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t)\, dt.$$ Imponiendo $\delta S = 0$ con condiciones de contorno fijas $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$ y aplicando el cálculo variacional se obtienen las célebres ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \qquad i = 1, \dots, n.$$

Este sistema de $n$ ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden determina completamente la dinámica. Para sistemas sin vínculos no holónomos, las ecuaciones de Euler-Lagrange son equivalentes a las leyes de Newton pero poseen la ventaja de ser covariantes frente a transformaciones puntuales de coordenadas y de incorporar naturalmente los vínculos holónomos.

Nota histórica. Joseph-Louis Lagrange publicó su Mécanique Analytique en 1788, donde presentó el formalismo sin una sola figura, con el célebre prefacio: «No se encontrarán figuras en esta obra. Los métodos que expongo no exigen construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino solamente operaciones algebraicas sujetas a un proceso regular y uniforme».

2. Momentos conjugados

En el formalismo lagrangiano las velocidades generalizadas $\dot{q}_i$ son variables cinemáticas fundamentales. Sin embargo, desde la perspectiva hamiltoniana interesa reemplazarlas por los momentos canónicamente conjugados $p_i$, definidos como la derivada parcial de la lagrangiana respecto de la velocidad generalizada correspondiente:

$$p_i \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}(q, \dot{q}, t), \qquad i = 1, \dots, n.$$

La magnitud $p_i$ es, en general, distinta del momento lineal mecánico $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$. El adjetivo canónicamente conjugado indica que $q_i$ y $p_i$ forman un par canónico con una estructura simpléctica subyacente. Solo cuando la energía cinética es cuadrática en las velocidades generalizadas y las coordenadas son cartesianas, el momento canónico coincide con el momento lineal estándar.

Físicamente, $p_i$ captura la respuesta de la lagrangiana ante variaciones infinitesimales de la velocidad generalizada. En presencia de potenciales dependientes de la velocidad —como en la electrodinámica clásica, donde $L = \tfrac{1}{2}m\dot{\mathbf{r}}^2 + q\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A} - q\phi$— el momento canónico $p_i$ adquiere una contribución adicional: $p_i = m\dot{r}_i + qA_i$.

Precaución. No debe confundirse el momento canónico $p_i$ con el momento cinético $m\dot{q}_i$. Esta distinción es crucial en sistemas con potenciales dependientes de la velocidad y constituye el punto de partida para el acoplamiento mínimo en teoría de campos.

3. Transformada de Legendre

Para pasar del espacio de configuración-velocidad $(q, \dot{q})$ al espacio de configuración-momento $(q, p)$, se emplea la transformada de Legendre. En una variable, si $f(x)$ es una función estrictamente convexa ($f''(x) > 0$), su transformada se define como: $$g(s) = \sup_{x}\bigl[s\,x - f(x)\bigr],$$ donde $s = f'(x)$. La variable dual $s$ reemplaza a $x$ como variable independiente.

En mecánica, la convexidad de $L$ respecto de $\dot{q}$ está garantizada si la matriz hessiana es no singular:

$$\det\!\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j}\right) \neq 0.$$

Esta condición asegura que la relación $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ sea localmente invertible para despejar $\dot{q}_i = \dot{q}_i(q, p, t)$. Geométricamente, la transformada transporta la dinámica del fibrado tangente $T\mathcal{Q}$ al fibrado cotangente $T^*\mathcal{Q}$, dotado de estructura simpléctica natural.

Lagrangianas singulares. Si $\det(\partial^2 L/\partial \dot{q}_i\partial \dot{q}_j) = 0$, la transformada de Legendre no es invertible y surgen vínculos en el espacio de fases. Esto ocurre en teorías de gauge como la electrodinámica y en la formulación lagrangiana de la relatividad general. El tratamiento requiere el formalismo de Dirac-Bergmann para sistemas con vínculos.

4. Función Hamiltoniana

Aplicando la transformada de Legendre a la lagrangiana respecto de todas las velocidades generalizadas se obtiene la función hamiltoniana $H(q, p, t)$, definida como:

$$H(q, p, t) \equiv \sum_{i=1}^{n} p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t),$$

donde se sobreentiende que las velocidades $\dot{q}_i$ han sido expresadas en términos de $q$, $p$ y $t$ mediante la inversión de $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$. La función $H$ tiene dimensiones de energía.

Para sistemas esclerónomos (sin dependencia explícita del tiempo en las ecuaciones de transformación de coordenadas), la energía cinética es una forma cuadrática homogénea en las velocidades: $T = \tfrac{1}{2}\sum_{i,j} a_{ij}(q)\,\dot{q}_i \dot{q}_j$. Aplicando el teorema de Euler para funciones homogéneas se obtiene $\sum_i \dot{q}_i (\partial T/\partial \dot{q}_i) = 2T$, y por lo tanto: $$H = 2T - (T - V) = T + V = E.$$ Es decir, para sistemas esclerónomos la hamiltoniana coincide numéricamente con la energía total del sistema.

$$H(q, p) = T(q, p) + V(q) = E.$$

Elegancia del formalismo. Mientras que en el enfoque lagrangiano la energía aparece como una cantidad conservada derivada, en el formalismo hamiltoniano la energía total $H$ es la función que genera la dinámica. Esta dualidad —la energía como generador de la evolución temporal— es una de las ideas más profundas de la física teórica y anticipa el papel del operador hamiltoniano en mecánica cuántica.

5. Espacio de fases

El espacio de fases $\Gamma$ de un sistema con $n$ grados de libertad es una variedad de dimensión $2n$ cuyas coordenadas locales son: $$(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n) \in \Gamma \subset \mathbb{R}^{2n}.$$

$$\dim(\Gamma) = 2n.$$

A diferencia del espacio de configuración (dimensión $n$), cada punto del espacio de fases especifica completamente el estado del sistema: su configuración y su momento, es decir, su «posición y velocidad generalizada». No se requiere conocer derivadas temporales adicionales para predecir la evolución futura: un punto en $\Gamma$ y las ecuaciones de Hamilton determinan unívocamente la trayectoria.

Esta propiedad contrasta con el espacio de configuración aumentado $(q, \dot{q})$, donde el estado dinámico requiere $2n$ condiciones iniciales. La transición al espacio de fases convierte las $n$ ecuaciones de segundo orden de Euler-Lagrange en $2n$ ecuaciones de primer orden, duplicando la dimensionalidad pero simplificando el orden de las derivadas.

Interpretación geométrica. El espacio de fases es el fibrado cotangente $T^*\mathcal{Q}$ de la variedad de configuración $\mathcal{Q}$. Esta estructura dota al espacio de fases de una 2-forma simpléctica canónica $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq_i$, que es la estructura geométrica fundamental subyacente a toda la mecánica hamiltoniana. La existencia de esta forma diferencial cerrada y no degenerada es lo que distingue la mecánica hamiltoniana de otros sistemas dinámicos.

6. Ejemplos canónicos

Partícula libre

Para una partícula de masa $m$ en una dimensión, $L = \tfrac{1}{2}m\dot{q}^2$. El momento canónico es $p = m\dot{q}$, de donde $\dot{q} = p/m$. La hamiltoniana resulta:

$$H(q, p) = p\dot{q} - L = \frac{p^2}{2m}.$$

El espacio de fases es $\mathbb{R}^2$ y las trayectorias son rectas horizontales $q(t) = q_0 + (p_0/m)\,t$ con $p(t) = p_0$ constante.

Oscilador armónico unidimensional

Con $L = \tfrac{1}{2}m\dot{q}^2 - \tfrac{1}{2}kq^2$, el momento conjugado es $p = m\dot{q}$. Sustituyendo $\dot{q} = p/m$:

$$H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k q^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Las curvas de nivel $H = E$ constante son elipses en el espacio de fases. Este es el ejemplo paradigmático de sistema integrable: la energía $E$ es la única integral primera necesaria para un sistema con $n = 1$ grado de libertad.

Péndulo simple

Para un péndulo de longitud $\ell$ y masa $m$, la lagrangiana en la coordenada angular $\theta$ es $L = \tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta$. El momento canónico es $p_\theta = m\ell^2\dot{\theta}$, de donde:

$$H(\theta, p_\theta) = \frac{p_\theta^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta.$$

Este hamiltoniano exhibe una separatriz en $H = mg\ell$ que separa los movimientos de libración (oscilación) de los de rotación completa. El espacio de fases, siendo $\theta$ una variable angular, tiene la topología de un cilindro: $S^1 \times \mathbb{R}$.

Observación. En los tres ejemplos, $H$ no depende explícitamente del tiempo, por lo que $H = E$ es una constante de movimiento. Esta propiedad —que exploraremos en detalle en el próximo capítulo— es la manifestación de la homogeneidad temporal a través del teorema de Noether aplicado al formalismo hamiltoniano.