Mecánica Hamiltoniana

Formalismo Canónico y Estructuras Simplécticas

Este curso desarrolla la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, el puente natural hacia la mecánica cuántica. Desde la transformada de Legendre hasta la cuantización canónica, se recorren las ecuaciones de Hamilton, los corchetes de Poisson, las transformaciones canónicas, la teoría de Hamilton-Jacobi, las variables de acción-ángulo, el teorema de Liouville-Arnold y los fundamentos de la geometría simpléctica. Cada capítulo combina el rigor matemático con la elegancia del formalismo canónico.

Índice de Capítulos

Capítulo 1

Del Lagrangiano al Hamiltoniano

Transformada de Legendre, espacio de fases, función hamiltoniana. De coordenadas generalizadas a momentos conjugados.
Capítulo 2

Ecuaciones Canónicas de Hamilton

Derivación, sistemas autónomos, integrales primeras, conservación de la energía.
Capítulo 3

Corchetes de Poisson

Definición, propiedades algebraicas, constantes de movimiento, teorema de Poisson.
Capítulo 4

Transformaciones Canónicas

Definición, condiciones de canonicidad, invariancia de los corchetes de Poisson.
Capítulo 5

Funciones Generatrices

F1, F2, F3, F4, transformaciones infinitesimales, identidad y evolución temporal.
Capítulo 6

Ecuación de Hamilton-Jacobi

Derivación, separación de variables, función principal de Hamilton.
Capítulo 7

Variables de Acción-Ángulo

Sistemas periódicos, frecuencias fundamentales, invariantes adiabáticos.
Capítulo 8

Teorema de Liouville e Integrabilidad

Sistemas integrables, toros invariantes, teorema de Arnold-Liouville.
Capítulo 9

Fundamentos de Geometría Simpléctica

Forma simpléctica, teorema de Darboux, flujo hamiltoniano, mapeo simpléctico.
Capítulo 10

Cuantización Canónica

De Poisson a conmutadores, principio de correspondencia, puente con mecánica cuántica.

Bibliografía Recomendada

  • Classical Mechanics
    Goldstein, H., Poole, C. & Safko, J.
    Addison-Wesley, 3rd ed., 2001.
  • Mechanics
    Landau, L. D. & Lifshitz, E. M.
    Butterworth-Heinemann, 3rd ed., 1976.
  • Mathematical Methods of Classical Mechanics
    Arnold, V. I.
    Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2nd ed., 1989.
  • Mechanics and Symmetry
    Marsden, J. E. & Ratiu, T. S.
    Springer, 2nd ed., 1999.
  • Introduction to Mechanics and Symmetry
    Marsden, J. E. & Ratiu, T. S.
    Springer, 1994.
  • The Variational Principles of Mechanics
    Lanczos, C.
    Dover Publications, 4th ed., 1986.
  • Symplectic Techniques in Physics
    Guillemin, V. & Sternberg, S.
    Cambridge University Press, 2nd ed., 1990.
  • Integrable Systems and Algebraic Geometry
    Babelon, O., Bernard, D. & Talon, M.
    Cambridge University Press, 2003.
  • Hamiltonian Systems and Their Integrability
    Audin, M.
    American Mathematical Society, 2008.
  • Foundations of Mechanics
    Abraham, R. & Marsden, J. E.
    AMS Chelsea Publishing, 2nd ed., 1978.