Capítulo 4 — Transformaciones Canónicas
1. Definición de Transformación Canónica
En el formalismo lagrangiano, las ecuaciones de Euler-Lagrange son covariantes bajo cualquier cambio de coordenadas $Q_i = Q_i(q, t)$, lo cual constituye una de las ventajas del enfoque variacional. En el formalismo hamiltoniano, las variables $q_i$ y $p_i$ desempeñan roles simétricos, y los cambios de coordenadas que preservan la estructura canónica de las ecuaciones de Hamilton son notablemente más restringidos.
Una transformación de coordenadas en el espacio de fases:
se denomina transformación canónica si preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton. Es decir, si existe una nueva función hamiltoniana $K(Q, P, t)$ tal que las ecuaciones de movimiento en las nuevas variables mantienen la estructura canónica:
La exigencia de que las nuevas variables $(Q_i, P_i)$ sigan siendo canónicamente conjugadas impone condiciones muy precisas sobre la transformación. El estudio sistemático de dichas condiciones conduce a la teoría de funciones generatrices y a la formulación simpléctica de la mecánica.
Motivación física
Las transformaciones canónicas son la herramienta principal para simplificar problemas mecánicos. Permiten elegir coordenadas en las que el Hamiltoniano adopta una forma particularmente simple: idealmente, coordenadas cíclicas en las que los momentos conjugados son constantes de movimiento. La búsqueda de tales coordenadas es el objetivo central de la teoría de Hamilton-Jacobi (Capítulo 6) y constituye el método de resolución más poderoso de la mecánica clásica.
2. Condiciones de Canonicidad
Para formular condiciones precisas de canonicidad, utilizamos la notación simpléctica. Definimos las coordenadas colectivas del espacio de fases $2n$-dimensional:
Sea $M$ la matriz jacobiana de la transformación $Z = Z(z, t)$:
Recordemos la matriz simpléctica canónica $J$ y la forma en que las ecuaciones de Hamilton se escriben en notación compacta:
La transformación $Z = Z(z)$ es canónica (independiente del tiempo) si y solo si la matriz jacobiana $M$ satisface la condición simpléctica:
Esta ecuación matricial, que en dimensión $2n \times 2n$ equivale a $n(2n-1)$ condiciones independientes sobre las $2n$ funciones $Q_i, P_i$, es la caracterización más compacta de una transformación canónica. Equivalentemente, una transformación es canónica si preserva la forma simpléctica $\omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i$:
Las transformaciones que satisfacen esta condición se denominan simplécticas (o simpléctomorfismos). La condición $M J M^T = J$ es análoga a la condición $R R^T = I$ que define las matrices ortogonales que preservan el producto interno euclidiano: así como las rotaciones preservan la métrica, las transformaciones canónicas preservan la forma simpléctica.
Condiciones equivalentes
Existen varias formulaciones equivalentes de la condición de canonicidad: (i) $M J M^T = J$, (ii) $M^T J M = J$, (iii) los corchetes de Poisson fundamentales son invariantes: $\{Q_i, Q_j\}_{q,p} = 0$, $\{P_i, P_j\}_{q,p} = 0$, $\{Q_i, P_j\}_{q,p} = \delta_{ij}$. La última formulación es particularmente práctica para verificar la canonicidad de transformaciones concretas.
3. Invariancia de los Corchetes de Poisson
Una de las propiedades más elegantes de las transformaciones canónicas es que los corchetes de Poisson son invariantes bajo tales transformaciones. Para cualquier par de funciones $f, g$ sobre el espacio de fases:
donde el subíndice indica respecto a qué variables canónicas se calcula el corchete. En otras palabras, el valor numérico del corchete de Poisson de dos funciones es independiente del sistema de coordenadas canónicas elegido para evaluarlo.
La demostración de este resultado se sigue directamente de la condición simpléctica. En notación vectorial:
$$ \begin{aligned} \{f, g\}_{Q,P} &= (\nabla_Z f)^T J (\nabla_Z g) \\ &= (M^{-T} \nabla_z f)^T J (M^{-T} \nabla_z g) \\ &= (\nabla_z f)^T M^{-1} J M^{-T} (\nabla_z g) \\ &= (\nabla_z f)^T J (\nabla_z g) = \{f, g\}_{q,p} \end{aligned} $$
En el último paso se utilizó que $M^{-1} J M^{-T} = J$, una identidad que se obtiene invirtiendo la condición $M J M^T = J$ y usando $J^{-1} = -J$.
Consecuencia práctica
La invariancia de los corchetes de Poisson implica que cualquier relación algebraica expresada en términos de corchetes de Poisson —constantes de movimiento, simetrías, álgebras de Lie— es independiente de la elección de coordenadas canónicas. Esto confiere al formalismo hamiltoniano una potencia y generalidad que el formalismo lagrangiano no posee: las ecuaciones de Lagrange son covariantes bajo cambios de coordenadas en el espacio de configuración, pero los corchetes de Poisson son invariantes bajo cambios de coordenadas en todo el espacio de fases.
4. Transformaciones Canónicas Infinitesimales
Una transformación canónica infinitesimal es aquella que difiere de la identidad en una cantidad de orden $\epsilon \ll 1$. Puede escribirse en términos de una función generadora infinitesimal $G(q, p)$ como:
En forma vectorial compacta, la transformación infinitesimal se expresa como $\delta z = \epsilon J \nabla_z G$, donde $\delta z = Z - z$. La función $G$ recibe el nombre de generador infinitesimal de la transformación canónica.
Una observación de importancia capital es que la evolución temporal misma es una transformación canónica infinitesimal. En efecto, para un intervalo de tiempo $\epsilon = \delta t$, las ecuaciones de Hamilton:
muestran que el Hamiltoniano $H$ mismo actúa como el generador infinitesimal de la evolución temporal. La transformación finita correspondiente es el flujo hamiltoniano $\Phi_H^t$.
El papel dual del Hamiltoniano
El Hamiltoniano desempeña un doble papel en mecánica clásica: por un lado, es el observable que representa la energía del sistema; por otro, es el generador de las traslaciones temporales. Esta dualidad entre observables y generadores de simetrías es un principio general: el momento lineal $\mathbf{p}$ genera traslaciones espaciales, el momento angular $\mathbf{L}$ genera rotaciones, y la energía $H$ genera traslaciones temporales. En cada caso, el corchete de Poisson $\{\cdot, G\}$ proporciona la variación infinitesimal del observable bajo la transformación generada por $G$.
5. Ejemplos de Transformaciones Canónicas
5.1 Transformación identidad
La transformación más trivial es la identidad: $Q_i = q_i$, $P_i = p_i$. Su matriz jacobiana es $M = I_{2n}$, y claramente $I J I^T = J$, por lo que satisface la condición de canonicidad. El generador infinitesimal correspondiente es $G = 0$.
5.2 Intercambio de coordenadas y momentos
Una transformación particularmente reveladora en un sistema de un grado de libertad es el intercambio, salvo signo, de coordenada y momento:
La matriz jacobiana es:
Verificamos: $M J M^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = J$. La transformación es canónica. Nótese que $M = J$; esta transformación intercambia literalmente la coordenada y el momento, mostrando la perfecta simetría entre ambas variables en el formalismo hamiltoniano.
5.3 Rotaciones en el espacio de fases
En un sistema de un grado de libertad, una rotación de ángulo $\theta$ en el plano $(q, p)$:
es canónica para cualquier ángulo $\theta$, ya que la matriz de rotación $R(\theta)$ satisface $R(\theta) J R(\theta)^T = J$. En efecto, $R(\theta)$ pertenece al grupo simpléctico $\mathrm{Sp}(2, \mathbb{R})$, que en dos dimensiones coincide con $\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$. Para dimensiones superiores, el grupo simpléctico $\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})$ es un subgrupo propio de $\mathrm{SL}(2n, \mathbb{R})$, reflejando la estructura más rica de la geometría simpléctica.
No toda transformación es canónica
Una advertencia importante: no cualquier cambio de coordenadas en el espacio de fases es canónico. Por ejemplo, la transformación de escala $Q = \lambda q$, $P = \mu p$ es canónica solo si $\lambda \mu = 1$. La dilatación uniforme $Q = \lambda q$, $P = \lambda p$ con $\lambda \neq 1$ no preserva la forma simpléctica. Esta restricción refleja la existencia de una escala natural en el espacio de fases: el volumen simpléctico $\int \omega^n$ es invariante bajo transformaciones canónicas (teorema de Liouville), y las dilataciones lo modifican.
6. Relación entre Transformaciones Canónicas y Simetrías
La conexión entre transformaciones canónicas y simetrías constituye uno de los pilares conceptuales de la física teórica. Una transformación canónica $Z = Z(z)$ es una simetría del sistema si preserva la forma funcional del Hamiltoniano:
En el caso infinitesimal, generado por $G$, la variación del Hamiltoniano bajo la transformación es $\delta H = \{H, G\}$. Por lo tanto, $G$ genera una simetría del sistema si y solo si:
Pero esta es exactamente la condición para que $G$ sea una constante de movimiento. Hemos cerrado así el círculo: las simetrías continuas de un sistema hamiltoniano están en correspondencia biunívoca con las constantes de movimiento, y ambas se expresan mediante el corchete de Poisson con el Hamiltoniano. Esta es la esencia del teorema de Noether en el formalismo hamiltoniano.
El álgebra de Lie de las constantes de movimiento bajo los corchetes de Poisson es isomorfa al álgebra de Lie de los generadores de simetrías del sistema. Esta estructura algebraica es la clave para entender la integrabilidad de sistemas dinámicos y la clasificación de sus soluciones en términos de grupos de simetría.
Simetrías y leyes de conservación: el panorama unificado
En el formalismo hamiltoniano, la tríada simetría–generador–constante de movimiento se unifica elegantemente:
- Simetría: transformación canónica que preserva $H$.
- Generador infinitesimal: función $G(q, p)$ que define la transformación $\delta z = \epsilon J \nabla G$.
- Constante de movimiento: el generador mismo satisface $\{G, H\} = 0$, es decir, se conserva.
Esta triple identidad es imposible de formular con la misma claridad en el formalismo lagrangiano, y constituye una de las razones fundamentales por las que el enfoque hamiltoniano es el preferido en física teórica avanzada.