Capítulo 8 — Teorema de Liouville e Integrabilidad
1. Integrabilidad en Sentido de Liouville
Un sistema hamiltoniano con $n$ grados de libertad, definido sobre una variedad simpléctica $(M^{2n}, \omega)$, se dice completamente integrable en el sentido de Liouville si posee $n$ constantes de movimiento $F_1, \dots, F_n$ (donde $F_1 = H$, el hamiltoniano) que satisfacen dos condiciones fundamentales:
(i) Involución mutua: Los corchetes de Poisson entre cualquier par de constantes se anulan:
(ii) Independencia funcional: Las diferenciales $dF_1, \dots, dF_n$ son linealmente independientes en casi todo punto de $M$ (es decir, sobre un abierto denso). Equivalentemente, el conjunto de niveles:
es una subvariedad $n$-dimensional regular para valores genéricos de $\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)$.
¿Qué significa «en involución»?
Dos funciones $F$ y $G$ están en involución si $\{F, G\} = 0$. Por el teorema de Poisson (Capítulo 3), si dos constantes de movimiento están en involución, su corchete también es constante de movimiento. La condición de involución mutua garantiza que los flujos hamiltonianos generados por cada $F_i$ conmutan entre sí: $\Phi_{F_i}^t \circ \Phi_{F_j}^s = \Phi_{F_j}^s \circ \Phi_{F_i}^t$.
2. Toros Invariantes
Para valores regulares $\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_n)$, el conjunto de nivel $M_{\mathbf{f}}$ es una subvariedad compacta y conexa de dimensión $n$. El flujo de cada constante $F_i$ define una acción del grupo abeliano $\mathbb{R}^n$ sobre $M_{\mathbf{f}}$. La conmutatividad de los flujos implica que $M_{\mathbf{f}}$ admite una estructura de toro $n$-dimensional:
El espacio de fases íntegro se descompone, salvo un conjunto de medida nula (correspondiente a niveles singulares donde las $dF_i$ no son independientes), como una fibración por toros invariantes. Cada toro está etiquetado por los valores de las $n$ constantes de movimiento.
Visualización geométrica
Para $n=1$, el espacio de fases es bidimensional y los conjuntos de nivel $H = E$ son curvas cerradas (1-toros, es decir, círculos). Para $n=2$, los toros son superficies bidimensionales inmersas en $\mathbb{R}^4$. La imposibilidad de visualizar directamente esta estructura para $n \geq 2$ motivó el desarrollo de herramientas como las secciones de Poincaré.
El movimiento sobre cada toro es lineal: en coordenadas angulares adecuadas $(\varphi_1, \dots, \varphi_n) \in \mathbb{T}^n$, el flujo hamiltoniano se expresa como:
donde las frecuencias $\omega_i$ dependen del toro (es decir, de los valores $\mathbf{f}$).
3. Teorema de Arnold-Liouville
El resultado central que unifica las observaciones anteriores es el teorema de Arnold-Liouville (también llamado teorema de Liouville-Arnold, o teorema de las variables de acción-ángulo):
Teorema de Arnold-Liouville
Sea $(M^{2n}, \omega, H)$ un sistema hamiltoniano completamente integrable con $n$ integrales primeras $F_1 = H, F_2, \dots, F_n$ en involución e independientes. Sea $M_{\mathbf{f}}$ una componente conexa compacta del conjunto de nivel regular $F_i = f_i$. Entonces:
- $M_{\mathbf{f}}$ es difeomorfa al toro $n$-dimensional $\mathbb{T}^n$.
- En un entorno de $M_{\mathbf{f}}$ existen coordenadas canónicas $(w^1, \dots, w^n, J_1, \dots, J_n)$ —variables de acción-ángulo— tales que las $w^i$ son coordenadas angulares sobre el toro y las $J_i$ dependen solo de las constantes $f_i$.
- En estas coordenadas, el hamiltoniano depende exclusivamente de las acciones: $H = H(J_1, \dots, J_n)$.
La demostración del teorema procede construyendo explícitamente las coordenadas de acción-ángulo. Las variables de acción se obtienen integrando la 1-forma canónica $\theta = p_i \, dq^i$ sobre ciclos independientes $\gamma_i$ del toro $M_{\mathbf{f}}$:
Las variables de ángulo $w^i$ conjugadas se construyen a partir de la función generatriz $S(q, J) = \int_{q_0}^q p_k \, dq^k$ evaluada sobre la variedad de nivel, y satisfacen $\{w^i, J_j\} = \delta^i_j$.
4. Coordenadas de Acción-Ángulo como Consecuencia del Teorema
El teorema de Arnold-Liouville no solo garantiza la existencia de las coordenadas de acción-ángulo, sino que proporciona un algoritmo constructivo para hallarlas. El procedimiento es el siguiente:
Paso 1. Identificar $n$ integrales primeras $F_1 = H, \dots, F_n$ en involución e independientes.
Paso 2. Para cada conjunto regular de valores $\mathbf{f}$, determinar los ciclos independientes $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ que generan la homología $H_1(M_{\mathbf{f}}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^n$.
Paso 3. Calcular las variables de acción:
Paso 4. Invertir la relación para expresar $\mathbf{f}$ en función de $\mathbf{J}$, y con ello obtener $H = H(\mathbf{J})$.
Paso 5. Construir la función generatriz $S(q, \mathbf{J})$ y derivar para obtener las variables de ángulo $w^i$ y las frecuencias $\omega^i$.
Independencia de la elección de ciclos
Los valores $J_i$ dependen de la elección de la base de ciclos $\{\gamma_i\}$ en $H_1(M_{\mathbf{f}}, \mathbb{Z})$. Una transformación $SL(n, \mathbb{Z})$ de la base de ciclos induce una transformación análoga en las acciones y una transformación inversa en los ángulos, preservando la estructura simpléctica. Existe una base privilegiada fijada por la topología del sistema, y las acciones están definidas módulo esta ambigüedad.
5. Ejemplos de Sistemas Integrables
5.1 Oscilador Armónico $n$-dimensional
El hamiltoniano es $H = \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_i^2}{2m_i} + \frac{1}{2} m_i \omega_i^2 q_i^2 \right)$. Las $n$ energías individuales $E_i = \frac{p_i^2}{2m_i} + \frac{1}{2} m_i \omega_i^2 q_i^2$ constituyen $n$ constantes en involución: $\{E_i, E_j\} = 0$ para todo $i, j$. Las acciones son $J_i = E_i / \omega_i$, y el hamiltoniano en variables de acción es $H = \sum_i \omega_i J_i$. Las frecuencias $\omega_i = \partial H / \partial J_i$ son constantes, y el sistema es isoenergéticamente no degenerado si las $\omega_i$ son racionalmente independientes.
5.2 Problema de Kepler
Para una partícula de masa $m$ en un potencial central $V(r) = -k/r$, el sistema posee $n=3$ grados de libertad. Las constantes de movimiento en involución son: la energía $H = E$, el módulo del momento angular $L = |\mathbf{L}|$, y la componente $L_z$. Alternativamente, pueden usarse las componentes del vector de Laplace-Runge-Lenz, aunque estas no están todas en involución entre sí. La degeneración accidental ($\omega_r = \omega_\theta = \omega_\phi$) implica que las tres frecuencias coinciden y todas las órbitas acotadas son cerradas.
5.3 Trompo Simétrico (Pechincha de Lagrange)
Un cuerpo rígido con un punto fijo y simetría axial ($I_1 = I_2 \neq I_3$) en un campo gravitatorio uniforme. Las constantes en involución son la energía $H$, la componente $L_z$ del momento angular espacial, y la componente $L_3$ del momento angular en el sistema del cuerpo. Las acciones correspondientes determinan los tres movimientos característicos: precesión, nutación y rotación propia.
6. Perturbaciones de Sistemas Integrables y Teorema KAM
Los sistemas completamente integrables son, en cierto sentido, excepcionales: una perturbación genérica $H = H_0(J) + \varepsilon H_1(w, J)$ destruye la integrabilidad. La pregunta fundamental es: ¿qué ocurre con los toros invariantes bajo una perturbación pequeña?
El teorema KAM (Kolmogórov, Arnold, Moser, 1954–1963) proporciona la respuesta. Para perturbaciones $\varepsilon H_1$ suficientemente pequeñas y suficientemente suaves, los toros del sistema no perturbado cuyas frecuencias satisfacen una condición diofantina sobreviven, deformándose ligeramente pero manteniendo el movimiento cuasiperiódico.
Teorema KAM (enunciado informal)
Sea $H_0(J)$ un sistema integrable no degenerado ($\det |\partial^2 H_0 / \partial J_i \partial J_j| \neq 0$). Para $\varepsilon$ suficientemente pequeño y para un subconjunto de toros cuyas frecuencias $\omega_i = \partial H_0 / \partial J_i$ satisfacen la condición diofantina:
con $\gamma > 0$ y $\tau > n-1$, existe una transformación canónica que elimina la dependencia angular de $H_1$ sobre dichos toros. Estos toros forman un conjunto de Cantor de medida positiva que tiende a la medida total del espacio de fases cuando $\varepsilon \to 0$.
Entre los toros que sobreviven, las resonancias destruyen los toros donde $\sum k_i \omega_i \approx 0$, dando lugar a regiones de movimiento caótico. Para $n=2$, los toros KAM dividen el espacio de fases tridimensional (superficie de energía) en regiones incomunicadas, confinando las trayectorias caóticas. Para $n \geq 3$, los toros no dividen el espacio de fases, y puede existir la llamada difusión de Arnold: trayectorias que lentamente derivan a través de la red de resonancias.
Relevancia física del teorema KAM
El teorema KAM explica la estabilidad del sistema solar a largo plazo (los planetas sobreviven en toros KAM ligeramente deformados por las perturbaciones gravitatorias mutuas), la confinación de partículas en dispositivos de fusión tipo tokamak (toros magnéticos), y la existencia de aceleradores de Fermi en plasmas astrofísicos. Es uno de los resultados más profundos de la mecánica clásica del siglo XX.