Capítulo 7 — Variables de Acción-Ángulo

1. Motivación: Sistemas Periódicos y Multiperiódicos

Muchos sistemas físicos de interés exhiben movimiento periódico o condicionalmente periódico. El movimiento de un oscilador armónico, las órbitas planetarias, o la precesión de un trompo simétrico son ejemplos paradigmáticos. En el formalismo hamiltoniano, estos movimientos ocurren sobre variedades invariantes con la topología de toros, y las variables de acción-ángulo constituyen la parametrización natural de dichas estructuras.

Consideremos un sistema hamiltoniano de $n$ grados de libertad. Diremos que el movimiento es periódico si cada coordenada generalizada $q_i$ es una función periódica del tiempo con un período común $T$. El movimiento es condicionalmente periódico (o multiperiódico) cuando las coordenadas evolucionan como combinaciones lineales de $n$ frecuencias fundamentales independientes $\omega_1, \dots, \omega_n$:

2. Definición de Variables de Acción

Para un sistema separable —esto es, un sistema cuya ecuación de Hamilton-Jacobi admite separación de variables—, los momentos conjugados $p_i$ pueden expresarse como funciones únicamente de la correspondiente coordenada $q_i$ y de $n$ constantes de integración $\alpha_1, \dots, \alpha_n$:

Si para cada par $(q_i, p_i)$ el movimiento en el espacio de fases reducido es periódico (libración) o rotatorio (circulación), la integral de circuito cerrado $\oint p_i \, dq_i$ está bien definida. La variable de acción $J_i$ se define entonces como:

Para un sistema con $n$ grados de libertad que admite $n$ movimientos periódicos independientes, obtenemos $n$ variables de acción $J_1, \dots, J_n$, que son constantes de movimiento por construcción.

3. Definición de Variables de Ángulo

Las variables de ángulo $w_i$ se definen a partir de la función característica de Hamilton $W(q, \alpha)$ (o la función principal de Hamilton $S(q, \alpha, t)$) según:

La propiedad fundamental de las variables de ángulo es su periodicidad. Si $q_i$ completa un ciclo completo (desde $q_i^{\min}$ hasta $q_i^{\max}$ y regreso, o una vuelta completa en el caso rotatorio), la variable $w_i$ se incrementa exactamente en $2\pi$, mientras que las restantes variables de ángulo no cambian:

Esto confiere a las variables de ángulo la topología de una circunferencia $S^1$, de modo que el espacio de fases del sistema integrable se descompone como un producto de $n$ círculos: un toro $n$-dimensional $\mathbb{T}^n = S^1 \times \cdots \times S^1$.

4. Frecuencias Fundamentales

En las variables de acción-ángulo $(w, J)$, el hamiltoniano depende exclusivamente de las acciones: $H = H(J_1, \dots, J_n)$. Las ecuaciones de Hamilton se reducen a:

Las $J_i$ son constantes de movimiento, mientras que las $w_i$ evolucionan linealmente con el tiempo:

Las cantidades $\omega_i(J) = \partial H / \partial J_i$ se denominan frecuencias fundamentales del sistema. El período fundamental asociado a la coordenada $i$ es $T_i = 2\pi / \omega_i$. Para un movimiento $k$-periódico genérico, una frecuencia puede anularse, dando lugar a resonancias y degeneración.

5. Condiciones de Degeneración y Resonancia

Se dice que un sistema presenta degeneración cuando dos o más frecuencias fundamentales son conmensurables, es decir, cuando existen enteros $m_1, \dots, m_n$ no todos nulos tales que:

La degeneración tiene consecuencias profundas en la estructura del espacio de fases. Si la relación de conmensurabilidad involucra $k$ frecuencias independientes, la dimensión efectiva del toro invariante se reduce de $n$ a $n-k$, y el movimiento queda confinado a toros de dimensión menor. En el caso extremo de degeneración completa ($k = n-1$), todas las órbitas son cerradas (movimiento estrictamente periódico).

Cuando la relación $\sum m_i \omega_i = 0$ se satisface para un conjunto particular de acciones $J$, hablamos de una resonancia. Las resonancias son las responsables de la ruptura de toros invariantes bajo perturbaciones, fenómeno central en la teoría KAM.

6. Invariantes Adiabáticos

Consideremos un sistema hamiltoniano cuyos parámetros $\lambda(t)$ varían lentamente en comparación con los períodos característicos del movimiento. Si el sistema no perturbado es periódico en cada grado de libertad, las variables de acción $J_i$ se comportan como invariantes adiabáticos: permanecen aproximadamente constantes durante la evolución lenta del sistema.

Formalmente, si $\tau$ es la escala temporal de variación de $\lambda$ y $T$ el período característico del movimiento, la condición adiabática es $\tau \gg T$. Bajo esta hipótesis:

En el límite adiabático ideal ($\tau \to \infty$), las acciones se conservan exactamente: $J_i(t) = \text{constante}$. Los cambios en los parámetros $\lambda$ inducen una evolución del hamiltoniano $H(J, \lambda(t))$, y por tanto de las frecuencias $\omega_i(J, \lambda(t))$, pero las acciones mismas no varían a orden principal.

7. Ejemplo: Oscilador Armónico en Variables de Acción-Ángulo

El oscilador armónico unidimensional es el ejemplo canónico para ilustrar las variables de acción-ángulo. Partimos del hamiltoniano:

La trayectoria en el espacio de fases es una elipse de semiejes $a = \sqrt{2E/m\omega^2}$ (en $q$) y $b = \sqrt{2mE}$ (en $p$), cuya área es $\pi a b = 2\pi E / \omega$. La variable de acción es:

Invirtiendo, la energía en función de la acción es $E = H(J) = \omega J$, de donde la frecuencia fundamental resulta:

La constancia de $\omega$ con la acción es una propiedad característica del oscilador armónico (isocronismo de las oscilaciones). La variable de ángulo $w$ satisface $\dot{w} = \omega$, de modo que $w = \omega t + w_0$, y las coordenadas originales se expresan como:

Esta transformación $(q, p) \to (w, J)$ es canónica y constituye el puente directo hacia la cuantización: en la antigua teoría cuántica, Sommerfeld postuló $J = n\hbar$ ($n \in \mathbb{N}$), recuperando los niveles de energía $E_n = n\hbar\omega$. En la cuantización canónica moderna (Capítulo 10), el operador de acción se relaciona directamente con el operador número $N = a^\dagger a$.

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