Capítulo 6 — Ecuación de Hamilton-Jacobi
6.1. Derivación de la ecuación de Hamilton-Jacobi
Hasta ahora hemos formulado la mecánica en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias: $2n$ ecuaciones de primer orden para $(q_i, p_i)$. La teoría de Hamilton-Jacobi propone un enfoque radicalmente distinto: reducir la dinámica a una única ecuación en derivadas parciales de primer orden para una función escalar $S$.
La idea parte de buscar una función generatriz de tipo $F_2$, que denominaremos $S(q, P, t)$, tal que el nuevo hamiltoniano $K$ sea idénticamente nulo. Si $K = 0$, las ecuaciones de Hamilton para las nuevas variables son $\dot Q_i = \partial K/\partial P_i = 0$ y $\dot P_i = -\partial K/\partial Q_i = 0$: las nuevas coordenadas y momentos son constantes de movimiento.
Estrategia fundamental
Hallar una transformación canónica $(q, p) \to (Q, P)$ que «congele» la dinámica, llevando el sistema a un hamiltoniano nulo. Una vez encontrada la función generatriz $S$, la evolución temporal se obtiene por inversión algebraica, sin necesidad de integrar ecuaciones diferenciales.
Recordando que para una función generatriz de tipo $F_2$ tenemos $p_i = \partial F_2/\partial q_i$ y $K = H + \partial F_2/\partial t$, e imponiendo $K = 0$ con $F_2 = S$, resulta:
Esta es la ecuación de Hamilton-Jacobi dependiente del tiempo. Se trata de una ecuación en derivadas parciales de primer orden, no lineal en general, para la función incógnita $S(q_1, \dots, q_n, t)$. La solución completa debe contener $n + 1$ constantes de integración, una de las cuales es aditiva pues $S$ aparece solo bajo derivadas.
6.2. Función principal de Hamilton $S(q, P, t)$
La solución buscada de la ecuación de Hamilton-Jacobi se denomina función principal de Hamilton. Si se obtiene una integral completa de la forma:
donde las $\alpha_i$ son $n$ constantes de integración no aditivas, podemos identificar estas constantes con los nuevos momentos: $P_i = \alpha_i$. Las nuevas coordenadas constantes $\beta_i = Q_i$ se obtienen entonces por derivación:
Y los momentos originales se recuperan mediante:
Invirtiendo las $n$ ecuaciones $\beta_i = \partial S/\partial \alpha_i$ se obtienen las trayectorias $q_i = q_i(\alpha, \beta, t)$, lo que resuelve completamente el problema dinámico. La potencia del método reside en que hemos reemplazado $2n$ ecuaciones diferenciales ordinarias por una única ecuación en derivadas parciales, más $n$ cuadraturas ($\partial S/\partial \alpha_i$).
Interpretación física de $S$
La función principal de Hamilton coincide con la acción clásica evaluada sobre la trayectoria física que conecta una configuración inicial con una final: $S(q, t; q_0, t_0) = \int_{t_0}^{t} L\, dt$. De hecho, $S$ satisface el principio de Hamilton en su forma diferencial y genera la dinámica como una transformación canónica dependiente del tiempo.
6.3. Separación de variables
El caso más importante en las aplicaciones se presenta cuando el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo: $\partial H/\partial t = 0$. En tal situación, la ecuación de Hamilton-Jacobi admite separación de la variable temporal:
donde $E$ es la energía total del sistema (constante). Sustituyendo esta forma en la ecuación de Hamilton-Jacobi, la dependencia temporal se cancela y se obtiene la ecuación reducida para la función característica de Hamilton $W$:
La identificación $P_1 = \alpha_1 = E$ es natural: uno de los nuevos momentos constantes es la propia energía. La ecuación para $W$ no contiene derivadas temporales y es puramente geométrica: define superficies $W(q) = \text{cte}$ en el espacio de configuración.
Función característica $W$ y óptica geométrica
La ecuación $H(q, \partial W/\partial q) = E$ es formalmente idéntica a la ecuación eikonal de la óptica geométrica. Las superficies $W = \text{cte}$ son frentes de onda que se propagan con velocidad de fase $E/|\nabla W|$. Esta analogía, descubierta por Hamilton, anticipó en casi un siglo la formulación de Schrödinger de la mecánica cuántica.
6.4. Ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo
La ecuación $H(q, \partial W/\partial q) = E$ es el objeto central de estudio para sistemas conservativos. En coordenadas cartesianas para una partícula de masa $m$ sujeta a un potencial $V(\mathbf{r})$, toma la forma explícita:
En forma más compacta: $\frac{1}{2m} |\nabla W|^2 + V(\mathbf{r}) = E$, de donde $|\nabla W| = \sqrt{2m(E - V)}$. Esta expresión muestra explícitamente que el gradiente de $W$ es proporcional al momento lineal clásico $\mathbf{p} = \nabla W$.
La función $W$ tiene dimensiones de acción (energía $\times$ tiempo) y puede interpretarse como la integral de línea del momento a lo largo de la trayectoria: $W = \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{r} = \int \sqrt{2m(E - V)}\, ds$, donde $ds$ es el elemento de arco de la trayectoria en el espacio de configuración.
Relación con el principio de Maupertuis
La función característica $W$ está íntimamente vinculada al principio de mínima acción de Maupertuis. Mientras que $S$ es la acción hamiltoniana dependiente del tiempo, $W$ es la acción reducida o acción de Maupertuis, apropiada para problemas donde la energía está fijada como parámetro.
6.5. Método de separación para múltiples grados de libertad
Para sistemas con $n$ grados de libertad, la ecuación de Hamilton-Jacobi es en general una EDP no lineal en $n$ variables espaciales. Sin embargo, existe una clase importante de sistemas para los cuales la ecuación es separable: la función $W$ puede escribirse como suma de funciones de una sola variable cada una:
La separabilidad se da cuando existe un sistema de coordenadas —denominadas coordenadas de Liouville— en el cual el hamiltoniano se separa aditivamente. La condición necesaria y suficiente, establecida por Stäckel, involucra la existencia de una matriz (la matriz de Stäckel) con propiedades algebraicas particulares.
Cuando la separación es posible, cada función $W_k(q_k)$ satisface una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
donde las constantes de separación $\alpha_k$ satisfacen $\sum_k \alpha_k = E$. Cada ecuación es resoluble por cuadratura: $W_k(q_k) = \int \sqrt{2m_k(q_k)(\alpha_k - V_k(q_k))}\, dq_k$.
Separabilidad e integrabilidad
La existencia de coordenadas separables para la ecuación de Hamilton-Jacobi es equivalente a la integrabilidad del sistema en el sentido de Liouville. Todo sistema integrable admite separación de variables en alguna carta de coordenadas, y viceversa. Este teorema, demostrado en el marco de la geometría simpléctica, constituye uno de los resultados más profundos de la mecánica clásica.
6.6. Ejemplos
Oscilador armónico unidimensional
Para el oscilador armónico, $H = p^2/2m + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$. La ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo es:
Despejando e integrando: $W(q) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}\, dq$. La integral conduce a una expresión que involucra funciones trigonométricas inversas. La solución completa $S(q, E, t) = W(q) - Et$ contiene una constante $\alpha = E$. La nueva coordenada constante es:
De aquí se despeja $q(t)$ invirtiendo la relación $\beta + t = \partial W/\partial E$, obteniendo la conocida solución $q(t) = \sqrt{2E/m\omega^2}\, \sin(\omega(t - t_0))$.
Problema de Kepler
Para el problema de Kepler, $H = p^2/2m - k/r$, en coordenadas esféricas $(r, \theta, \phi)$ el hamiltoniano es:
Postulando separación aditiva $W = W_r(r) + W_\theta(\theta) + W_\phi(\phi)$, la ecuación se separa en tres ecuaciones ordinarias vinculadas por las constantes $\alpha_\phi = p_\phi$ (momento angular azimutal), $\alpha_\theta$ (módulo del momento angular total) y $\alpha_r = E$:
La ecuación radial conduce por cuadratura a la ecuación de la órbita, que en términos de $u = 1/r$ da las cónicas keplerianas. Las constantes de separación $\alpha_\phi$, $\alpha_\theta$ y $E$ son los nuevos momentos constantes, y sus conjugadas son las variables angulares que estudiaremos en el próximo capítulo.
Partícula en un campo central
Para un potencial central genérico $V(r)$, el hamiltoniano en esféricas mantiene la misma estructura cinética. La separabilidad en coordenadas esféricas es posible para cualquier potencial central debido a la simetría rotacional. El procedimiento es idéntico al del problema de Kepler, con la salvedad de que la ecuación radial depende de la forma específica de $V(r)$.
Esta ecuación es formalmente análoga a la de un problema unidimensional con un potencial efectivo $V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \alpha_\theta^2/(2mr^2)$, donde el término centrífugo $\propto 1/r^2$ emerge naturalmente de la separación de variables.
El método de Hamilton-Jacobi en la historia de la física
La formulación de Hamilton-Jacobi no solo proporcionó un método sistemático para resolver problemas de mecánica celeste (variaciones de constantes, teoría de perturbaciones), sino que también estableció el puente conceptual hacia la mecánica cuántica. La ecuación de Schrödinger $i\hbar \partial\psi/\partial t = \hat H \psi$ es, en el límite $\hbar \to 0$, equivalente a la ecuación de Hamilton-Jacobi para la fase $S$ de la función de onda $\psi \sim e^{iS/\hbar}$. Esta conexión constituye uno de los logros más profundos de la física teórica.