Capítulo 2 — Ecuaciones Canónicas de Hamilton

1. Derivación de las ecuaciones de Hamilton

Partiendo de la definición $H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$, calculamos la diferencial total de $H$: $$dH = \sum_i \left( \dot{q}_i\,dp_i + p_i\,d\dot{q}_i \right) - \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i}\,dq_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\,d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,dt.$$ Utilizando la definición de momento conjugado $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$, los términos en $d\dot{q}_i$ se cancelan idénticamente: $$dH = \sum_i \dot{q}_i\,dp_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}\,dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}\,dt.$$

Por otro lado, tratando $H$ como función de $(q, p, t)$, su diferencial es: $$dH = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i}\,dq_i + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}\,dp_i + \frac{\partial H}{\partial t}\,dt.$$ Comparando coeficientes se obtienen las ecuaciones canónicas de Hamilton:

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad i = 1, \dots, n.$$

Y además la relación auxiliar: $\partial H/\partial t = -\partial L/\partial t$. Estas $2n$ ecuaciones diferenciales de primer orden reemplazan las $n$ ecuaciones de Euler-Lagrange de segundo orden. La notable simetría del signo menos en $\dot{p}_i = -\partial H/\partial q_i$ es la firma característica de la estructura simpléctica.

Escritas en forma compacta usando la matriz simpléctica $J$,

$$\dot{\eta}^\alpha = J^{\alpha\beta}\,\frac{\partial H}{\partial \eta^\beta}, \qquad \eta = (q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n),\quad J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}.$$

donde $I_n$ es la matriz identidad de $n \times n$. Esta formulación revela que las ecuaciones de Hamilton definen un campo vectorial $X_H$ sobre el espacio de fases, llamado campo vectorial hamiltoniano.

Interpretación geométrica. Las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse como $\iota_{X_H}\,\omega = -dH$, donde $\omega = \sum_i dp_i \wedge dq_i$ es la 2-forma simpléctica canónica. Esta ecuación define unívocamente el campo $X_H$ gracias a la no-degeneración de $\omega$, estableciendo un isomorfismo entre campos vectoriales y 1-formas diferenciales.

2. Sistemas autónomos y conservación de la energía

Un sistema hamiltoniano se dice autónomo cuando la función $H$ no depende explícitamente del tiempo: $\partial H/\partial t = 0$. La derivada temporal total de $H$ a lo largo de una trayectoria es:

$$\frac{dH}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\,\dot{q}_i + \frac{\partial H}{\partial p_i}\,\dot{p}_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}.$$

Para sistemas autónomos, $\partial H/\partial t = 0$, por lo que $dH/dt = 0$ y $H$ es una constante de movimiento. Esta es la expresión más directa de la conservación de la energía en el formalismo hamiltoniano.

El resultado es consistente con el teorema de Noether: la homogeneidad temporal (invariancia de la acción bajo traslaciones en $t$) implica la conservación de $H$. La potencia del enfoque hamiltoniano radica en que la propia función $H$ es la cantidad conservada, mientras que en el formalismo lagrangiano la energía conservada debe construirse a partir de $L$ mediante la identidad de Beltrami: $E = \sum_i \dot{q}_i (\partial L/\partial \dot{q}_i) - L$.

Atención. Que $H$ sea constante no implica que $H = T + V$ en todo sistema. Para sistemas reónomos (con dependencia explícita del tiempo en la transformación de coordenadas), $H$ puede conservarse pero no coincidir con la energía mecánica $T + V$. Debe distinguirse siempre entre la función hamiltoniana y la energía total.

3. Integrales primeras y constantes de movimiento

Una función $f(q, p, t)$ definida sobre el espacio de fases extendido se denomina integral primera o constante de movimiento si su valor permanece constante a lo largo de toda trayectoria que sea solución de las ecuaciones de Hamilton:

$$\frac{df}{dt} = 0 \quad \text{a lo largo de las soluciones de Hamilton.}$$

Las integrales primeras reducen la dimensionalidad efectiva del problema. Si se conocen $k$ integrales primeras funcionalmente independientes, la evolución queda confinada a una subvariedad de dimensión $2n - k$ en el espacio de fases. El caso óptimo es $k = n$ integrales primeras en involución, que garantiza integrabilidad en el sentido de Liouville (Capítulo 8).

La relación entre integrales primeras y simetrías se formaliza mediante el teorema de Noether en su versión hamiltoniana: si una función $G(q, p)$ genera una transformación canónica infinitesimal que preserva $H$, entonces $G$ es una integral primera. Recíprocamente, toda integral primera $G$ genera una transformación canónica que deja invariante a $H$.

Conexión fundamental. En el formalismo hamiltoniano existe una correspondencia biunívoca entre simetrías continuas y leyes de conservación mediada por los corchetes de Poisson: $G$ es constante si y solo si $\{G, H\} = 0$. Esta relación —que exploraremos en profundidad en el Capítulo 3— es la puerta de entrada a la teoría de grupos de Lie en mecánica clásica y a la formulación algebraica de la mecánica cuántica.

4. Derivada temporal de observables

Para cualquier observable $f(q, p, t)$ —es decir, cualquier función diferenciable sobre el espacio de fases extendido— su evolución temporal a lo largo de las trayectorias hamiltonianas está dada por:

$$\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t},$$

donde $\{f, H\}$ denota el corchete de Poisson clásico entre $f$ y la hamiltoniana:

$$\{f, g\} \equiv \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i} \right).$$

La demostración es inmediata aplicando la regla de la cadena y las ecuaciones de Hamilton: $$\frac{df}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i}\,\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\,\dot{p}_i \right) + \frac{\partial f}{\partial t} = \sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial f}{\partial t}.$$

Esta fórmula es análoga a la ecuación de Heisenberg en mecánica cuántica, donde el conmutador $[\hat{f}, \hat{H}]/i\hbar$ reemplaza al corchete de Poisson $\{f, H\}$. La correspondencia $\{ \cdot , \cdot \} \leftrightarrow [\cdot, \cdot]/i\hbar$ es el principio de cuantización canónica de Dirac.

Observables fundamentales. Aplicando la fórmula a las propias coordenadas canónicas se obtienen los corchetes de Poisson fundamentales: $\{q_i, q_j\} = 0$, $\{p_i, p_j\} = 0$, $\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}$. Nótese que $\dot{q}_i = \{q_i, H\}$ y $\dot{p}_i = \{p_i, H\}$, lo que muestra que las ecuaciones de Hamilton son un caso particular de la evolución general de observables.

5. Evolución temporal como flujo hamiltoniano

Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton definen una familia uniparamétrica de transformaciones $\varphi_t : \Gamma \to \Gamma$ denominada flujo hamiltoniano. Para cada condición inicial $\eta_0 = (q_0, p_0)$, la trayectoria $\eta(t) = \varphi_t(\eta_0)$ es la única solución que satisface $\eta(0) = \eta_0$ (bajo condiciones estándar de regularidad). El flujo posee propiedades notables:

Propiedad de grupo. $\varphi_0 = \mathrm{id}$ y $\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s$, reflejando el carácter determinista de la evolución clásica: el estado en $t + s$ se obtiene evolucionando el estado en $t$ por un tiempo $s$.

Preservación de la estructura simpléctica. El flujo hamiltoniano es una transformación canónica para todo $t$, lo que implica:

$$\varphi_t^*\,\omega = \omega, \qquad \forall t,$$

donde $\varphi_t^*$ denota el pullback. La invariancia de $\omega$ bajo el flujo es equivalente al Teorema de Liouville: el volumen en el espacio de fases $d\Gamma = dq_1 \dots dq_n\,dp_1 \dots dp_n$ es preservado por la dinámica hamiltoniana.

Preservación de $H$. Para sistemas autónomos, $H \circ \varphi_t = H$, es decir, el flujo preserva las superficies de nivel de energía. La dinámica se desarrolla sobre hipersuperficies $H = E$ de dimensión $2n - 1$.

Irreversibilidad aparente y teorema de recurrencia. A diferencia de los sistemas disipativos, el flujo hamiltoniano es estrictamente reversible: $\varphi_{-t} = \varphi_t^{-1}$. El Teorema de Recurrencia de Poincaré establece que casi toda trayectoria en una superficie de energía compacta retorna arbitrariamente cerca de su condición inicial después de un tiempo suficientemente largo. La aparente irreversibilidad macroscópica no contradice la reversibilidad microscópica.

6. Ejemplos resueltos

Oscilador armónico unidimensional

Con $H = p^2/(2m) + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$, las ecuaciones de Hamilton son:

$$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = -m\omega^2 q.$$

Derivando la primera y sustituyendo la segunda: $\ddot{q} = \dot{p}/m = -\omega^2 q$, recuperando la ecuación del oscilador. La solución general en el espacio de fases es $q(t) = q_0 \cos\omega t + (p_0/m\omega)\sin\omega t$, $p(t) = -m\omega q_0\sin\omega t + p_0\cos\omega t$, que describe elipses con centro en el origen.

Problema de Kepler

Para una partícula de masa $m$ en un potencial central $V(r) = -k/r$, el hamiltoniano en coordenadas polares $(r, \theta)$ es:

$$H(r, \theta, p_r, p_\theta) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} - \frac{k}{r}.$$

Siendo $\theta$ una coordenada cíclica ($\partial H/\partial \theta = 0$), la ecuación canónica $\dot{p}_\theta = -\partial H/\partial \theta = 0$ implica $p_\theta = \ell = \text{constante}$, que es el momento angular. Las restantes ecuaciones son $\dot{r} = p_r/m$ y $\dot{p}_r = \ell^2/(mr^3) - k/r^2$. Combinándolas se obtiene la ecuación radial de Binet y las cónicas como órbitas.

El sistema posee integrales primeras adicionales: la energía $E$ y las dos componentes del vector de Laplace-Runge-Lenz $\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - mk\hat{r}$, que juntas suman 5 integrales primeras para 6 grados de libertad en $\mathbb{R}^3$ (con $H$ constante, quedan 5 independientes), explicando la cerradura de las órbitas y haciendo del problema de Kepler un sistema superintegrable.

Cuerda vibrante (límite continuo)

Consideremos una cadena de $N$ osciladores acoplados con $H = \sum_{j=1}^{N} [p_j^2/(2m) + \frac{1}{2}k(q_{j+1} - q_j)^2]$. Las ecuaciones de Hamilton son:

$$\dot{q}_j = \frac{p_j}{m}, \qquad \dot{p}_j = k(q_{j+1} + q_{j-1} - 2q_j).$$

En el límite continuo $N \to \infty$, identificando $q_j(t) \to \phi(x, t)$ con $x = j\Delta x$ y redefiniendo parámetros, se obtiene la ecuación de onda $\partial_t^2\phi = c^2\,\partial_x^2\phi$. La densidad hamiltoniana asociada es $\mathcal{H} = \tfrac{1}{2}[\pi^2 + (\partial_x\phi)^2]$, donde $\pi = \partial_t\phi$ es el momento canónico del campo. Las ecuaciones de Hamilton para campos:

$$\partial_t\phi = \frac{\delta H}{\delta\pi} = \pi, \qquad \partial_t\pi = -\frac{\delta H}{\delta\phi} = \partial_x^2\phi,$$

reproducen la ecuación de onda. Este ejemplo ilustra cómo el formalismo hamiltoniano se extiende naturalmente a sistemas con infinitos grados de libertad, constituyendo el lenguaje de la teoría clásica de campos y la antesala de la teoría cuántica de campos.

De lo discreto a lo continuo. La transición de sistemas discretos a campos continuos revela que la mecánica hamiltoniana no está restringida a partículas puntuales. La electrodinámica, la elasticidad, la hidrodinámica y la relatividad general admiten formulaciones hamiltonianas. La única diferencia técnica es que el espacio de fases se vuelve de dimensión infinita y las derivadas parciales se reemplazan por derivadas funcionales.