Capítulo 5 — Funciones Generatrices
5.1. Motivación y definición
En el capítulo anterior establecimos que las transformaciones canónicas preservan la estructura de las ecuaciones de Hamilton. Sin embargo, determinar si una transformación dada es canónica requiere verificar condiciones que involucran los corchetes de Poisson fundamentales o la invariancia de la forma simpléctica. Resulta deseable disponer de un método constructivo que permita generar transformaciones canónicas de manera directa y sistemática.
La idea central, introducida por Carl Gustav Jacob Jacobi, consiste en aprovechar que la condición de canonicidad expresada en términos del principio variacional equivale a exigir que los integrandos de la acción difieran a lo sumo en una diferencial exacta temporal. Dicho de otro modo: las ecuaciones de Hamilton en las variables $(q,p)$ y $(Q,P)$ se derivan de principios variacionales cuyos integrandos están vinculados por una función escalar que actúa como «puente» entre ambos conjuntos de variables.
Idea fundamental
Una transformación canónica $(q,p) \to (Q,P)$ queda determinada por una función generatriz $F$, que depende de una mezcla de coordenadas antiguas y nuevas, y del tiempo. Las relaciones entre las variables se obtienen por derivación parcial de $F$. Existen cuatro tipos canónicos, cada uno adaptado a una elección particular de variables independientes.
La condición anterior garantiza que ambos principios variacionales conducen a las mismas trayectorias físicas. A partir de ella se deducen las relaciones fundamentales que vinculan las variables canónicas con la función generatriz.
5.2. Función generatriz $F_1(q, Q, t)$
El primer tipo de función generatriz toma como variables independientes las coordenadas antiguas $q_i$ y las nuevas $Q_i$, además del tiempo: $F_1 = F_1(q, Q, t)$. Esta elección es natural cuando la transformación vincula directamente las posiciones en ambos conjuntos.
Partiendo de la condición variacional y expresando la derivada total $\frac{dF_1}{dt}$, se obtienen las reglas de derivación de $F_1$:
La primera ecuación proporciona los momentos antiguos en función de $(q, Q)$. La segunda brinda los nuevos momentos, con un signo negativo característico de este tipo. La tercera establece la relación entre el nuevo hamiltoniano $K$ y el antiguo $H$: difieren en la derivada parcial temporal de $F_1$. Si $F_1$ no depende explícitamente del tiempo, entonces $K = H$, es decir, el hamiltoniano es invariante en forma funcional bajo la transformación.
Condición de invertibilidad
Para que $F_1(q, Q, t)$ defina una transformación canónica bien comportada, el hessiano mixto debe ser no singular: $\det\left(\frac{\partial^2 F_1}{\partial q_i \partial Q_j}\right) \neq 0$. Esta condición garantiza que las ecuaciones $p_i = \partial F_1/\partial q_i$ puedan invertirse para despejar $Q_i$ en función de $(q, p)$.
5.3. Función generatriz $F_2(q, P, t)$
El segundo tipo es quizás el más utilizado en la práctica. La función $F_2$ depende de las coordenadas antiguas $q_i$, los nuevos momentos $P_i$ y el tiempo. Para pasar de $F_1$ a $F_2$ se realiza una transformada de Legendre en las variables $Q$:
Las relaciones de derivación para $F_2$ son:
Aquí la segunda ecuación carece del signo negativo presente en $F_1$, lo cual resulta conveniente. Esta es la razón por la que $F_2(q, P, t)$ es la elección preferida en la teoría de Hamilton-Jacobi y en teoría de perturbaciones canónicas.
Ventaja práctica de $F_2$
La función $F_2(q, P, t)$ tiene la propiedad de que los nuevos momentos $P_i$ son constantes de movimiento cuando la transformación conduce a un nuevo hamiltoniano $K$ que no depende de las coordenadas $Q_i$. Esta observación es la base del método de Hamilton-Jacobi que estudiaremos en el capítulo siguiente.
5.4. Funciones generatrices $F_3(p, Q, t)$ y $F_4(p, P, t)$
Los dos tipos restantes surgen cuando conviene tomar los momentos antiguos $p_i$ como variables independientes en lugar de las coordenadas antiguas. Se obtienen mediante transformadas de Legendre adicionales a partir de $F_1$ y $F_2$ respectivamente.
$F_3(p, Q, t)$
Se define como $F_3(p, Q, t) = F_1(q, Q, t) - \sum_i p_i q_i$. Sus relaciones de derivación son:
$F_4(p, P, t)$
Se obtiene a partir de $F_3$ mediante una nueva transformada de Legendre en $Q$, o equivalentemente desde $F_2$ transformando en $q$: $F_4(p, P, t) = F_2(q, P, t) - \sum_i p_i q_i$. Sus relaciones son:
Atención con los signos
Las funciones $F_3$ y $F_4$ heredan signos negativos en las relaciones que provienen de las transformadas de Legendre. La regla mnemotécnica es: cuando se deriva respecto de una variable que fue «transformada» de un miembro a otro, aparece un signo negativo. Las coordenadas $q$ y los momentos $P$ son las variables que «cruzan» respecto del tipo $F_2$.
La siguiente tabla resume los cuatro tipos canónicos de funciones generatrices:
| Tipo | Variables | $p_i$ | $q_i$ | $P_i$ | $Q_i$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $F_1$ | $(q, Q)$ | $\partial F_1/\partial q_i$ | — | $-\partial F_1/\partial Q_i$ | — |
| $F_2$ | $(q, P)$ | $\partial F_2/\partial q_i$ | — | — | $\partial F_2/\partial P_i$ |
| $F_3$ | $(p, Q)$ | — | $-\partial F_3/\partial p_i$ | $-\partial F_3/\partial Q_i$ | — |
| $F_4$ | $(p, P)$ | — | $-\partial F_4/\partial p_i$ | — | $\partial F_4/\partial P_i$ |
5.5. Transformación identidad y transformaciones infinitesimales
Transformación identidad
La transformación canónica más simple es aquella que deja invariantes las variables: $Q_i = q_i$, $P_i = p_i$. ¿Cuál es su función generatriz? Inspeccionando las relaciones de $F_2$, vemos que $Q_i = \partial F_2/\partial P_i = q_i$ se satisface inmediatamente si:
En efecto: $\partial F_2/\partial q_i = P_i = p_i$ y $\partial F_2/\partial P_i = q_i = Q_i$. La transformación identidad es, por tanto, una transformación canónica trivial generada por el producto escalar de las coordenadas antiguas y los nuevos momentos.
Transformaciones infinitesimales
De enorme relevancia conceptual y práctica son las transformaciones canónicas que difieren infinitesimalmente de la identidad. Para construirlas, añadimos a $F_2^{\text{id}}$ un término proporcional a un parámetro pequeño $\varepsilon$:
Aplicando las reglas de $F_2$:
Invirtiendo al primer orden en $\varepsilon$, los cambios infinitesimales de las variables dinámicas son:
La función $G(q, p, t)$ recibe el nombre de generador infinitesimal de la transformación canónica. Su estructura es idéntica a la de una transformación generada por corchetes de Poisson: $\delta f = \varepsilon \{f, G\}$.
Generadores y simetrías
Si $G$ es una constante de movimiento ($\{G, H\} = 0$), entonces la transformación canónica infinitesimal generada por $G$ es una simetría del sistema. Este resultado, debido a Emmy Noether aunque formulado aquí en lenguaje canónico, conecta directamente generadores infinitesimales con leyes de conservación.
5.6. Evolución temporal como transformación canónica
Una de las aplicaciones más profundas del formalismo de funciones generatrices es la interpretación de la dinámica hamiltoniana como una transformación canónica continua parametrizada por el tiempo. En efecto, la evolución desde un instante inicial $t_0$ hasta $t$ puede verse como una transformación canónica $(q(t_0), p(t_0)) \to (q(t), p(t))$.
Para visualizar esta idea, tomemos como función generatriz de tipo $F_2$ la función principal de Hamilton $S(q, P, t)$, que satisface:
Esta es la célebre ecuación de Hamilton-Jacobi, que será el objeto central del próximo capítulo. Con esta elección, el nuevo hamiltoniano resulta $K = H + \partial S/\partial t = 0$, de modo que las nuevas variables son constantes de movimiento: $\dot Q_i = \dot P_i = 0$. La dinámica queda codificada íntegramente en la función generatriz $S$.
Para un intervalo infinitesimal $dt$, la función generatriz tiene la forma $F_2 = \sum q_i P_i + H(q, P, t) dt$, que comparada con la expresión de la transformación infinitesimal revela que el hamiltoniano es el generador de la evolución temporal: el parámetro $\varepsilon$ es $dt$ y el generador $G$ es precisamente $H$.
El tiempo como parámetro canónico
La evolución temporal es una transformación canónica cuyo generador infinitesimal es el propio hamiltoniano $H$. Esta afirmación, expresada algebraicamente como $\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$, constituye una de las formulaciones más elegantes de la dinámica clásica y el puente directo hacia la ecuación de Heisenberg en mecánica cuántica.
5.7. Ejemplos
Traslación espacial
Consideremos la traslación $Q = q + a$, $P = p$ en un grado de libertad. Una función generatriz de tipo $F_2$ adecuada es:
Se verifica fácilmente: $p = \partial F_2/\partial q = P$, y $Q = \partial F_2/\partial P = q + a$. El generador infinitesimal es $G = p$, de modo que $\delta q = \varepsilon$ y $\delta p = 0$, como corresponde a una traslación en la coordenada.
Paso de cartesianas a polares en el plano
La transformación de coordenadas cartesianas $(x, y)$ a polares $(r, \theta)$ no es canónica por sí sola; debe acompañarse de la transformación adecuada de los momentos conjugados. Si partimos del lagrangiano de una partícula libre en el plano, los momentos canónicos en cartesianas son $p_x = m\dot x$, $p_y = m\dot y$. En polares: $p_r = m\dot r$, $p_\theta = m r^2 \dot\theta$.
Una función generatriz de tipo $F_2$ que realiza este cambio es:
Derivando: $p_x = P_r \frac{x}{r} - P_\theta \frac{y}{r^2}$, $p_y = P_r \frac{y}{r} + P_\theta \frac{x}{r^2}$, y las nuevas coordenadas $r = \partial F_2/\partial P_r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\theta = \partial F_2/\partial P_\theta = \arctan(y/x)$.
Transformaciones puntuales extendidas
Toda transformación puntual de coordenadas $Q_i = f_i(q)$ puede extenderse a una transformación canónica en el espacio de fases eligiendo la función generatriz $F_2(q, P) = \sum_i P_i f_i(q)$. Los momentos se transforman entonces como $p_i = \sum_j P_j \frac{\partial f_j}{\partial q_i}$, que es precisamente la ley de transformación de un vector covariante.