Capítulo 1 — Grupos, Grupos Abelianos y Cuerpos

1. Definición de Grupo

Un grupo es un par $(G, *)$ donde $G$ es un conjunto no vacío y $*$ es una operación binaria $* : G \times G \to G$ que satisface los siguientes cuatro axiomas:

Axiomas de Grupo

(G1) Cierre: Para todo $a, b \in G$, se tiene $a * b \in G$.
(G2) Asociatividad: Para todo $a, b, c \in G$, $(a * b) * c = a * (b * c)$.
(G3) Elemento neutro: Existe $e \in G$ tal que para todo $a \in G$, $e * a = a * e = a$.
(G4) Elemento inverso: Para cada $a \in G$, existe $a^{-1} \in G$ tal que $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$.

La ley de cierre a veces se omite como axioma pues está implícita en la definición de operación binaria. El elemento neutro $e$ es único, y para cada $a \in G$ su inverso $a^{-1}$ también es único.

$$ \forall a, b, c \in G: \quad (a * b) * c = a * (b * c) \quad \text{(Asociatividad)} $$

$$ \exists\, e \in G \; \forall a \in G: \quad e * a = a * e = a \quad \text{(Elemento neutro)} $$

2. Ejemplos de Grupos

El grupo aditivo de los enteros

El conjunto $\mathbb{Z}$ con la suma usual $+$ forma un grupo. El neutro es $0$ y el inverso de $n$ es $-n$. La asociatividad se hereda de la aritmética usual.

El grupo multiplicativo de los reales no nulos

El conjunto $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ con la multiplicación usual $\cdot$ es un grupo. El neutro es $1$ y el inverso de $x$ es $1/x$. Notemos que $0$ debe excluirse porque no posee inverso multiplicativo.

Otro ejemplo fundamental lo constituyen las matrices invertibles de tamaño $n \times n$ con entradas reales, denotado $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. La operación es la multiplicación matricial, el neutro es la matriz identidad $I_n$, y el inverso de cada matriz es su matriz inversa.

$$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) = \{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \det(A) \neq 0 \} $$

3. Grupos Abelianos

Un grupo $(G, *)$ se dice abeliano (o conmutativo) si además satisface el axioma de conmutatividad:

$$ \forall a, b \in G: \quad a * b = b * a \quad \text{(Conmutatividad)} $$

Entre los ejemplos más importantes de grupos abelianos se encuentran:

$(\mathbb{Z}, +)$: los enteros con la suma.
$(\mathbb{R}, +)$ y $(\mathbb{C}, +)$: los reales y complejos con la suma.
$(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)$: los reales no nulos con la multiplicación.
Los grupos cíclicos $\mathbb{Z}_n = \{0, 1, \dots, n-1\}$ con la suma módulo $n$.

No todos los grupos son abelianos. Por ejemplo, $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ para $n \geq 2$ no es abeliano porque la multiplicación de matrices no es conmutativa en general:

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; AB \neq BA $$

4. Definición de Cuerpo

Un cuerpo (o campo) es una terna $(F, +, \cdot)$ donde $F$ es un conjunto con al menos dos elementos, y $+$ y $\cdot$ son dos operaciones binarias que satisfacen:

Axiomas de Cuerpo

$(F, +)$ es un grupo abeliano con elemento neutro $0$.
$(F \setminus \{0\}, \cdot)$ es un grupo abeliano con elemento neutro $1$.
Distributividad: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ para todo $a, b, c \in F$.

En otras palabras, un cuerpo es una estructura algebraica donde están definidas dos operaciones (suma y producto) que se comportan como la aritmética usual, donde todos los elementos no nulos poseen inverso multiplicativo.

5. Ejemplos de Cuerpos

Cuerpo	Notación	Descripción
Números racionales	$\mathbb{Q}$	Fracciones $p/q$ con $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$
Números reales	$\mathbb{R}$	Completitud de los racionales
Números complejos	$\mathbb{C}$	$a + bi$ con $a,b \in \mathbb{R}$, $i^2 = -1$
Cuerpos finitos	$\mathbb{Z}_p$	Enteros módulo $p$ con $p$ primo

En los cuerpos finitos $\mathbb{Z}_p$, las operaciones se realizan módulo $p$. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}_5$ tenemos $3 + 4 = 2$ y $3 \cdot 4 = 2$ módulo $5$. La existencia de inversos multiplicativos para todo elemento no nulo se garantiza porque $p$ es primo, lo cual implica que $\mathrm{mcd}(a, p) = 1$ para $1 \leq a \lt p$.

$$ \mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}, \quad 3^{-1} = 2 \;\text{porque}\; 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5} $$

6. Propiedades fundamentales de cuerpos

A partir de los axiomas de cuerpo se deducen las siguientes propiedades:

Propiedades derivadas

Unicidad del cero y del uno: Los elementos neutros $0$ y $1$ son únicos.
Unicidad de inversos: Para cada $a \in F$, su inverso aditivo $-a$ es único. Para cada $a \neq 0$, su inverso multiplicativo $a^{-1}$ es único.
Ley de cancelación: Si $a + b = a + c$, entonces $b = c$. Si $a \neq 0$ y $a \cdot b = a \cdot c$, entonces $b = c$.
Producto por cero: $a \cdot 0 = 0$ para todo $a \in F$.
Regla de los signos: $(-a) \cdot b = -(a \cdot b)$ y $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

Una propiedad crucial de los cuerpos es que no admiten divisores de cero. Es decir:

$$ a \cdot b = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0 \;\text{o}\; b = 0 $$

Esta propiedad es fundamental y distingue a los cuerpos de otras estructuras algebraicas como los anillos. Por ejemplo, $\mathbb{Z}_6$ no es un cuerpo porque $2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$, con $2 \neq 0$ y $3 \neq 0$ en $\mathbb{Z}_6$.

$$ a \neq 0 \;\Longrightarrow\; a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0 \;\Longrightarrow\; (a^{-1} \cdot a) \cdot b = 0 \;\Longrightarrow\; 1 \cdot b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0 $$