Capítulo 7 — Espacios de Hilbert: Definición y Propiedades Básicas

1. Definición de Espacio de Hilbert

Un espacio de Hilbert $(H, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)$ es un espacio con producto interno que es completo respecto a la norma inducida $\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle}$. Es decir, toda sucesión de Cauchy en $H$ converge a un elemento de $H$.

Equivalentemente, un espacio de Hilbert puede caracterizarse como un espacio de Banach cuya norma satisface la ley del paralelogramo:

$$ \\|x + y\\|^2 + \\|x - y\\|^2 = 2\\|x\\|^2 + 2\\|y\\|^2 \\qquad \\forall x, y \\in H $$

Esta identidad distingue a los espacios de Hilbert de los espacios de Banach generales. Un teorema fundamental de von Neumann–Jordan establece que un espacio de Banach cuya norma satisface la ley del paralelogramo es necesariamente un espacio de Hilbert, donde el producto interno se recupera mediante la identidad de polarización:

$$ \\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4} \\left( \\|x + y\\|^2 - \\|x - y\\|^2 + i\\|x + iy\\|^2 - i\\|x - iy\\|^2 \\right) $$

Definición formal

Sea $(H, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)$ un espacio con producto interno sobre $\\mathbb{K} \\in \\{\\mathbb{R}, \\mathbb{C}\\}$. Se dice que $H$ es un espacio de Hilbert si es completo respecto a la métrica $d(x, y) = \\|x - y\\|$ donde $\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle}$.

Todo espacio de Hilbert es, por definición, un espacio de Banach. Sin embargo, el recíproco no es cierto: existen espacios de Banach cuya norma no proviene de un producto interno, como $C[0, 1]$ con la norma del supremo o $\\ell^p$ para $p \\neq 2$.

2. Ejemplos canónicos: $\\mathbb{R}^n$ y $\\mathbb{C}^n$

Los ejemplos más elementales de espacios de Hilbert son los espacios euclídeos de dimensión finita. El espacio $\\mathbb{R}^n$ con el producto interno usual

$$ \\langle x, y \\rangle = \\sum_{k=1}^{n} x_k y_k, \\qquad x = (x_1, \\dots, x_n),\\; y = (y_1, \\dots, y_n) \\in \\mathbb{R}^n $$

es un espacio de Hilbert real. Análogamente, $\\mathbb{C}^n$ con el producto interno hermítico

$$ \\langle x, y \\rangle = \\sum_{k=1}^{n} x_k \\overline{y_k}, \\qquad x, y \\in \\mathbb{C}^n $$

es un espacio de Hilbert complejo. La completitud en dimensión finita se sigue del hecho de que toda norma sobre $\\mathbb{R}^n$ o $\\mathbb{C}^n$ es equivalente a la euclídea, y estos espacios son completos con esta última.

Teorema de completitud en dimensión finita

Todo espacio vectorial normado de dimensión finita sobre $\\mathbb{R}$ o $\\mathbb{C}$ es completo. En particular, $\\mathbb{R}^n$ y $\\mathbb{C}^n$ con cualquier producto interno son espacios de Hilbert.

La geometría en estos espacios coincide con la geometría euclídea clásica: la noción de ángulo entre vectores se define a partir del producto interno mediante $\\cos \\theta = \\frac{\\langle x, y \\rangle}{\\|x\\| \\|y\\|}$, y la ortogonalidad corresponde a ángulo recto.

3. Espacios $L^2$

El espacio $L^2[a, b]$ es uno de los ejemplos más importantes de espacios de Hilbert de dimensión infinita. Está constituido por (clases de equivalencia de) funciones medibles $f: [a, b] \\to \\mathbb{C}$ para las cuales la integral de Lebesgue de $|f|^2$ es finita:

$$ L^2[a, b] = \\left\\{ f: [a, b] \\to \\mathbb{C} \\;\\Big|\\; \\int_a^b |f(x)|^2 \\, dx \lt \\infty \\right\\} \\big/ \\sim $$

donde $f \\sim g$ si $f = g$ en casi todo punto (c.t.p.). El producto interno en $L^2[a, b]$ se define como

$$ \\langle f, g \\rangle = \\int_a^b f(x) \\overline{g(x)} \\, dx $$

La completitud de $L^2[a, b]$ es un resultado profundo de la teoría de la medida: el teorema de Riesz–Fischer establece que $L^2[a, b]$ es completo, y por tanto un espacio de Hilbert. Este espacio es fundamental en el análisis funcional y en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

El caso de funciones a valores reales es análogo, suprimiendo el conjugado en el producto interno: $\\langle f, g \\rangle = \\int_a^b f(x) g(x) \\, dx$.

Importancia del espacio $L^2$

$L^2[a, b]$ es el espacio natural para el estudio de series de Fourier, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, y en general para cualquier problema donde intervenga la energía (cuadrado de la amplitud) de una señal o función.

4. Espacios $\\ell^2$

El espacio $\\ell^2$ (léase "ele dos") es el análogo discreto de $L^2$. Se define como el conjunto de sucesiones de cuadrado sumable:

$$ \\ell^2 = \\left\\{ (x_n)_{n=1}^{\\infty} \\subset \\mathbb{C} \\;\\Big|\\; \\sum_{n=1}^{\\infty} |x_n|^2 \\lt \\infty \\right\\} $$

El producto interno en $\\ell^2$ está dado por

$$ \\langle (x_n), (y_n) \\rangle = \\sum_{n=1}^{\\infty} x_n \\overline{y_n} $$

La convergencia de la serie del producto interno está garantizada por la desigualdad de Cauchy–Schwarz: $\\sum |x_n \\overline{y_n}| \\leq \\left(\\sum |x_n|^2\\right)^{1/2} \\left(\\sum |y_n|^2\\right)^{1/2} \\lt \\infty$.

El espacio $\\ell^2$ es separable porque el conjunto de sucesiones con un número finito de términos racionales (con parte real e imaginaria racional) constituye un subconjunto denso numerable. De hecho, $\\ell^2$ es isométricamente isomorfo a $L^2[0, 1]$ (ambos son espacios de Hilbert separables de dimensión infinita, y por un teorema clásico, todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isométricamente isomorfo a $\\ell^2$).

5. Propiedades básicas: separabilidad y reflexividad

Un espacio de Hilbert $H$ se dice separable si contiene un subconjunto denso numerable o, equivalentemente, si admite una base ortonormal numerable (véase Capítulo 9). Los espacios $\\mathbb{R}^n$, $\\mathbb{C}^n$, $\\ell^2$ y $L^2[a, b]$ son todos separables.

No todo espacio de Hilbert es separable. Un ejemplo clásico es el espacio de sucesiones $\\ell^2(I)$ con $I$ no numerable, donde solo una cantidad numerable de coordenadas pueden ser no nulas.

En cuanto a la reflexividad, todo espacio de Hilbert es reflexivo. Esto es consecuencia directa del teorema de representación de Riesz: para toda funcional lineal continua $\\varphi \\in H^*$, existe un único $y \\in H$ tal que

$$ \\varphi(x) = \\langle x, y \\rangle \\qquad \\forall x \\in H, \\quad \\text{y además } \\|\\varphi\\| = \\|y\\| $$

Este isomorfismo isométrico $H \\cong H^*$ (anti-lineal en el caso complejo) implica que $H^{**} \\cong H$, es decir, que $H$ es reflexivo. La reflexividad tiene consecuencias importantes: la bola unitaria cerrada de $H$ es débilmente compacta (teorema de Banach–Alaoglu), y toda sucesión acotada posee una subsucesión débilmente convergente (teorema de Eberlein–Šmulian).

Otra propiedad crucial de los espacios de Hilbert es que son estrictamente convexos (o rotundos): si $\\|x\\| = \\|y\\| = 1$ con $x \\neq y$, entonces $\\|\\frac{x+y}{2}\\| \\lt 1$. Esta propiedad geométrica es fundamental para garantizar la unicidad en el teorema de la proyección.

6. Teorema de la Proyección

Uno de los resultados geométricos más importantes en espacios de Hilbert es el Teorema de la Proyección (también conocido como teorema de la mejor aproximación).

Teorema de la Proyección (para convexos cerrados)

Sea $H$ un espacio de Hilbert y $C \\subseteq H$ un conjunto convexo, cerrado y no vacío. Para todo $x \\in H$, existe un único $c_0 \\in C$ tal que

$$ \\|x - c_0\\| = \\inf_{c \\in C} \\|x - c\\| = d(x, C) $$

El punto $c_0$ se denomina la proyección (o mejor aproximación) de $x$ sobre $C$ y se denota $c_0 = P_C(x)$. Además, $c_0$ queda caracterizado por la siguiente desigualdad variacional:

$$ \\operatorname{Re}\\, \\langle x - c_0, c - c_0 \\rangle \\leq 0 \\qquad \\forall c \\in C $$

La demostración de la existencia utiliza la identidad del paralelogramo para construir una sucesión minimizante de Cauchy, mientras que la unicidad se sigue de la convexidad estricta de la norma de Hilbert.

Cuando $C = M$ es un subespacio cerrado, la proyección $P_M(x)$ es además un operador lineal y autoadjunto, y la condición variacional se convierte en ortogonalidad:

$$ x - P_M(x) \\in M^{\\perp} \\qquad \\text{donde} \\qquad M^{\\perp} = \\{ y \\in H : \\langle y, m \\rangle = 0 \\; \\forall m \\in M \\} $$

Este caso particular del teorema de la proyección es el fundamento de la descomposición ortogonal $H = M \\oplus M^{\\perp}$, que estudiaremos en detalle en el Capítulo 8.