Capítulo 10 — Operadores Lineales en Espacios de Hilbert

Operadores acotados, adjuntos y teoría espectral elemental
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Operadores Lineales Acotados

Sea $H$ un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{C}$. Un operador lineal es una función $T: H \to H$ que satisface $T(\alpha x + \beta y) = \alpha T(x) + \beta T(y)$ para todo $x, y \in H$ y $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$. El operador $T$ se dice acotado si existe una constante $M \geq 0$ tal que:

$$ \|Tx\| \leq M \|x\| \qquad \forall x \in H $$

La menor de dichas constantes define la norma del operador:

$$ \|T\| = \sup_{\substack{x \in H \\ x \neq 0}} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} = \sup_{\substack{x \in H \\ \|x\| = 1}} \|Tx\| = \sup_{\substack{x, y \in H \\ \|x\|=\|y\|=1}} |\langle Tx, y \rangle| $$

Acotación equivale a continuidad

Un resultado fundamental del análisis funcional establece que para operadores lineales, acotación y continuidad son equivalentes. En efecto:

  • Si $T$ es acotado con constante $M$, entonces $\|Tx - Ty\| = \|T(x-y)\| \leq M \|x-y\|$, por lo que $T$ es Lipschitz-continuo (y uniformemente continuo).
  • Recíprocamente, si $T$ es continuo en $0$, existe $\delta > 0$ tal que $\|x\| \leq \delta$ implica $\|Tx\| \leq 1$. Para cualquier $x \neq 0$ se tiene $\|Tx\| = \frac{\|x\|}{\delta} \|T(\delta x / \|x\|)\| \leq \frac{\|x\|}{\delta}$, luego $T$ es acotado.

El espacio $\mathcal{B}(H)$ de todos los operadores lineales acotados de $H$ en $H$ es en sí mismo un espacio de Banach con la norma de operador.

La norma de operador satisface una propiedad submultiplicativa útil: para $T, S \in \mathcal{B}(H)$ se cumple $\|TS\| \leq \|T\| \, \|S\|$. Esto convierte a $\mathcal{B}(H)$ en un álgebra de Banach.

2. Operador Adjunto

Dado $T \in \mathcal{B}(H)$, para cada $y \in H$ fijo, la aplicación $x \mapsto \langle Tx, y \rangle$ es un funcional lineal acotado sobre $H$. Por el teorema de representación de Riesz, existe un único vector en $H$, que denotamos $T^* y$, tal que:

$$ \langle Tx, y \rangle = \langle x, T^* y \rangle \qquad \forall x, y \in H $$

La aplicación $y \mapsto T^* y$ define el operador adjunto de $T$, y se demuestra que $T^* \in \mathcal{B}(H)$ con $\|T^*\| = \|T\|$.

Propiedades fundamentales del adjunto:

  1. $(T + S)^* = T^* + S^*$
  2. $(\alpha T)^* = \overline{\alpha} \, T^*$ (conjugado del escalar)
  3. $(TS)^* = S^* T^*$ (inversión del orden)
  4. $T^{**} = T$ (involución)
  5. $\|T^* T\| = \|T\|^2$ (propiedad $C^*$)

Interpretación matricial

En el caso de dimensión finita $H = \mathbb{C}^n$, el adjunto $T^*$ corresponde a la matriz transpuesta conjugada (hermitiana conjugada) de la matriz que representa a $T$ respecto a una base ortonormal. La relación $\langle Tx, y \rangle = \langle x, T^* y \rangle$ generaliza la propiedad $(Ax) \cdot \overline{y} = x \cdot \overline{A^{\dagger} y}$.

3. Operadores Autoadjuntos (Hermitianos)

Un operador $T \in \mathcal{B}(H)$ es autoadjunto (o hermitiano) si $T = T^*$, es decir:

$$ \langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle \qquad \forall x, y \in H $$

Propiedades clave:

  • $\langle Tx, x \rangle \in \mathbb{R}$ para todo $x \in H$ (los valores esperados son reales).
  • La norma de un operador autoadjunto puede calcularse como:
    $$ \|T\| = \sup_{\|x\|=1} |\langle Tx, x \rangle| $$
  • Todo operador autoadjunto tiene espectro real: $\sigma(T) \subset \mathbb{R}$.
  • Los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

En dimensión finita, el teorema espectral para operadores autoadjuntos garantiza que $T$ es diagonalizable mediante una base ortonormal de autovectores. En dimensión infinita, el teorema espectral adquiere una forma más rica que involucra medidas espectrales.

4. Operadores Unitarios

Un operador $U \in \mathcal{B}(H)$ es unitario si preserva el producto interno, es decir:

$$ \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \qquad \forall x, y \in H $$

Esta condición es equivalente a $U^* U = U U^* = I$, donde $I$ denota el operador identidad. Un operador unitario es siempre una isometría biyectiva (isomorfismo isométrico) de $H$ en sí mismo.

Propiedades de los operadores unitarios:

  • $\|Ux\| = \|x\|$ para todo $x \in H$ (preservan la norma).
  • $U^{-1} = U^*$, por lo que $U$ es invertible con inversa acotada.
  • El conjunto de operadores unitarios forma un grupo (no conmutativo) bajo composición.
  • El espectro de un operador unitario está contenido en el círculo unitario: $\sigma(U) \subset \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$.

Unitario vs. Isometría

Una isometría $V \in \mathcal{B}(H)$ satisface $\|Vx\| = \|x\|$ (equivalentemente $V^* V = I$), pero no necesariamente es sobreyectiva. Un operador unitario es una isometría sobreyectiva. Un ejemplo clásico de isometría no unitaria es el shift unilateral en $\ell^2(\mathbb{N})$ definido por $S(x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$.

5. Operadores de Proyección Ortogonal

Sea $M \subset H$ un subespacio cerrado. El operador de proyección ortogonal sobre $M$, denotado $P_M$, asigna a cada $x \in H$ su única proyección ortogonal sobre $M$, es decir, el único $m \in M$ tal que $x - m \in M^\perp$.

Un operador $P \in \mathcal{B}(H)$ es una proyección ortogonal si y solo si satisface dos condiciones algebraicas:

$$ P^2 = P \quad \text{(idempotente)} \qquad \text{y} \qquad P^* = P \quad \text{(autoadjunto)} $$

Propiedades:

  • $P$ tiene norma $1$ (salvo el caso trivial $P = 0$).
  • $\langle Px, x \rangle = \|Px\|^2 \geq 0$ (operador positivo).
  • El rango de $P$ es el subespacio $M$, y el núcleo de $P$ es $M^\perp$.
  • Dos proyecciones $P$ y $Q$ son ortogonales si $PQ = QP = 0$.

Proyección ortogonal vs. proyección oblicua

Una proyección general solo requiere idempotencia ($P^2 = P$). La condición adicional de ser autoadjunto es lo que la hace ortogonal. En una proyección oblicua, el núcleo y el rango no son necesariamente ortogonales entre sí. Las proyecciones ortogonales son las que minimizan la distancia: $\|x - Px\| = \operatorname{dist}(x, \operatorname{ran}(P))$.

6. Nociones de Espectro

Dado $T \in \mathcal{B}(H)$, el conjunto resolvente $\rho(T)$ es el conjunto de números complejos $\lambda$ para los cuales el operador $\lambda I - T$ es biyectivo y su inverso es acotado. El espectro de $T$ es el complemento:

$$ \sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \rho(T) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : \lambda I - T \text{ no es invertible con inversa acotada} \} $$

El espectro siempre es un subconjunto compacto y no vacío de $\mathbb{C}$, contenido en el disco $\{z \in \mathbb{C} : |z| \leq \|T\|\}$.

El espectro se descompone en tres partes disjuntas:

  1. Espectro puntual $\sigma_p(T)$: $\lambda$ es autovalor ($\lambda I - T$ no es inyectivo).
  2. Espectro continuo $\sigma_c(T)$: $\lambda I - T$ es inyectivo, su rango es denso pero no es todo $H$, y el inverso no es acotado.
  3. Espectro residual $\sigma_r(T)$: $\lambda I - T$ es inyectivo pero su rango no es denso.

Dimensión finita vs. infinita

En dimensión finita, el espectro de una matriz es simplemente el conjunto de autovalores ($\sigma(T) = \sigma_p(T)$). En dimensión infinita, el espectro puede contener puntos que no son autovalores. Por ejemplo, el operador de multiplicación $(Mf)(x) = x f(x)$ en $L^2([0,1])$ tiene espectro puramente continuo $\sigma(M) = [0,1]$, sin autovalores.

7. Conexión con Mecánica Cuántica

La teoría de operadores en espacios de Hilbert proporciona el lenguaje matemático de la mecánica cuántica. En esta formulación:

  • Los estados cuánticos se representan mediante vectores normalizados en un espacio de Hilbert $H$ (rayos en el espacio proyectivo).
  • Los observables físicos (posición, momento, energía, spin) se representan mediante operadores autoadjuntos.
  • Los posibles resultados de una medición son los elementos del espectro del operador autoadjunto correspondiente.
  • El valor esperado de un observable $A$ en un estado $\psi$ (con $\|\psi\| = 1$) es $\langle \psi, A\psi \rangle \in \mathbb{R}$.
  • La evolución temporal está gobernada por un operador unitario $U(t) = e^{-iHt/\hbar}$, donde $H$ es el operador hamiltoniano (autoadjunto).
$$ i \hbar \frac{d}{dt} \psi(t) = H \psi(t) \quad \Longrightarrow \quad \psi(t) = e^{-iHt/\hbar} \, \psi(0) $$

El teorema espectral para operadores autoadjuntos (cuya formulación completa requiere la noción de medidas espectrales o integrales espectrales) garantiza que todo observable admite una descomposición en sus componentes espectrales, y que las probabilidades de los resultados de una medición están dadas por la regla de Born:

$$ \mathbb{P}_{\psi}(\text{medir } \lambda \in E) = \langle \psi, P_E \psi \rangle $$

donde $P_E$ es la proyección espectral asociada al conjunto (de Borel) $E \subset \mathbb{R}$.

Resumen: Correspondencia Matemática-Física

Concepto MatemáticoConcepto Físico
Espacio de Hilbert $H$Espacio de estados cuánticos
Vector normalizado $\psi \in H$Estado puro del sistema
Operador autoadjunto $A$Observable físico
Espectro $\sigma(A)$Posibles resultados de medición
$\langle \psi, A\psi \rangle$Valor esperado del observable
Operador unitario $U(t)$Evolución temporal del sistema
Proyección espectral $P_E$Probabilidad de resultado en $E$
$\langle \psi, \phi \rangle$Amplitud de probabilidad de transición

Cuestionario

Pregunta 1: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre operadores lineales en espacios de Hilbert es correcta?

Pregunta 2: La norma de un operador lineal acotado $T$ se define como:

Pregunta 3: ¿Cuál es la propiedad que define al operador adjunto $T^*$?

Pregunta 4: Un operador $T$ se dice autoadjunto (hermitiano) si:

Pregunta 5: ¿Cuál de las siguientes NO es una propiedad general de los operadores autoadjuntos acotados?

Pregunta 6: ¿Qué condiciones caracterizan a un operador unitario $U$?

Pregunta 7: ¿Qué dos condiciones algebraicas definen a un operador de proyección ortogonal $P$?

Pregunta 8: El espectro $\sigma(T)$ de un operador acotado $T$ se define como:

Pregunta 9: ¿Cuál es una diferencia clave entre el espectro en dimensión finita y en dimensión infinita?

Pregunta 10: En la formulación matemática de la mecánica cuántica, los observables físicos se representan como: