Capítulo 6 — Producto Interno (Escalar)

Axiomas, propiedades y geometría del espacio con producto interno
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Definición Axiomática del Producto Interno

Sea $X$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Un producto interno (o producto escalar) es una función $\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{K}$ que satisface los siguientes axiomas para todo $x, y, z \in X$ y $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$:

Axiomas del Producto Interno

(A1) Linealidad en el primer argumento (sesquilinealidad):

$$ \langle \alpha x + \beta y, \; z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle $$

(A2) Simetría conjugada:

$$ \langle x, \; y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} $$

En el caso real ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$), esto se reduce a $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ (simetría ordinaria).

(A3) Positividad definida:

$$ \langle x, x \rangle \geq 0, \qquad \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0 $$

La combinación de (A1) y (A2) implica que el producto interno es antilineal en el segundo argumento en el caso complejo: $\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \overline{\alpha}\langle x, y \rangle + \overline{\beta}\langle x, z \rangle$. En el caso real es bilineal.

2. Propiedades del Producto Interno

2.1. Producto interno en $\mathbb{R}^n$

El ejemplo canónico es el producto punto (o escalar euclídeo):

$$ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n $$

2.2. Producto interno en $\mathbb{C}^n$

En el caso complejo, el producto interno estándar incorpora la conjugación:

$$ \langle z, w \rangle = \sum_{i=1}^{n} z_i \overline{w_i} $$

2.3. Producto interno en $C[a,b]$

Para funciones continuas a valores complejos en $[a,b]$:

$$ \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \, \overline{g(x)} \, dx $$

Propiedades adicionales

  • $\langle x, 0 \rangle = \langle 0, x \rangle = 0$ para todo $x \in X$.
  • $\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle$ (aditividad en el segundo argumento).
  • Si $\langle x, y \rangle = 0$ para todo $y \in X$, entonces $x = 0$ (no degeneración).

3. Desigualdad de Cauchy–Schwarz

La desigualdad de Cauchy–Schwarz es uno de los resultados más importantes en la teoría de espacios con producto interno:

$$ |\langle x, y \rangle| \leq \sqrt{\langle x, x \rangle} \; \sqrt{\langle y, y \rangle} $$

La igualdad se cumple si y solo si $x$ e $y$ son linealmente dependientes (es decir, uno es múltiplo escalar del otro).

Demostración (esquema)

Para $\lambda \in \mathbb{K}$ cualquiera, por positividad:

$$ 0 \leq \langle x - \lambda y, \; x - \lambda y \rangle = \langle x, x \rangle - \overline{\lambda}\langle x, y \rangle - \lambda \langle y, x \rangle + |\lambda|^2 \langle y, y \rangle $$

Si $y = 0$, la desigualdad es trivial. En caso contrario, tomamos $\lambda = \langle x, y \rangle / \langle y, y \rangle$. Sustituyendo y simplificando se obtiene la desigualdad. La igualdad requiere que $x - \lambda y = 0$, de donde $x$ e $y$ son linealmente dependientes.

Importancia de Cauchy–Schwarz

Esta desigualdad es la herramienta fundamental para demostrar que $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ define efectivamente una norma (en particular, la desigualdad triangular). Además, es esencial en la teoría de proyecciones, la ortogonalidad y las series de Fourier.

4. Identidad del Paralelogramo

En todo espacio con producto interno se cumple la identidad del paralelogramo:

$$ \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\left( \|x\|^2 + \|y\|^2 \right) $$

Esta identidad tiene una interpretación geométrica inmediata: en un paralelogramo, la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

Condición necesaria y suficiente

Un resultado fundamental debido a von Neumann y Jordan (1935) establece que una norma $\|\cdot\|$ en un espacio vectorial proviene de un producto interno si y solo si satisface la identidad del paralelogramo. En tal caso, el producto interno puede recuperarse mediante la identidad de polarización:

$$ \langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right) \quad \text{(caso real)} $$

En el caso complejo se requieren cuatro términos con factores $1$, $i$, $-1$, $-i$.

Como consecuencia, las normas $\ell^p$ y $L^p$ provienen de un producto interno si y solo si $p = 2$.

5. Espacios Pre-Hilbert

Un espacio pre-Hilbert (o espacio con producto interno) es un espacio vectorial $X$ sobre $\mathbb{K}$ dotado de un producto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle$. A diferencia de un espacio de Hilbert, no se exige que el espacio sea completo respecto de la norma inducida.

$$ (X, \langle\cdot,\cdot\rangle) \text{ es pre-Hilbert } \;\Longleftrightarrow\; \text{ existe producto interno en } X $$

Todo espacio pre-Hilbert puede «completarse» para obtener un espacio de Hilbert. La completación se realiza identificando sucesiones de Cauchy (módulo la relación de equivalencia usual) y extendiendo el producto interno por continuidad.

Ejemplos de espacios pre-Hilbert

  • $C[a,b]$ con $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)\overline{g(x)}\,dx$ (no completo).
  • El espacio de sucesiones con soporte finito $c_{00}$ con el producto interno de $\ell^2$.
  • El espacio de polinomios $\mathcal{P}[a,b]$ con el producto interno integral.

6. Norma Inducida por el Producto Interno

Todo producto interno induce de manera natural una norma:

$$ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} $$

Para verificar que efectivamente es una norma, se deben comprobar las tres propiedades:

6.1. Positividad definida

$\|x\| \geq 0$ y $\|x\| = 0 \iff x = 0$, por el axioma (A3) del producto interno.

6.2. Homogeneidad

$\|\alpha x\| = \sqrt{\langle \alpha x, \alpha x \rangle} = \sqrt{|\alpha|^2 \langle x, x \rangle} = |\alpha| \, \|x\|$.

6.3. Desigualdad triangular

Se demuestra usando Cauchy–Schwarz:

$$ \begin{aligned} \|x+y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle \\ &= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2 \\ &= \|x\|^2 + 2\,\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2 \\ &\leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2 \end{aligned} $$

Continuidad del producto interno

Respecto de la norma inducida, el producto interno es una función continua en ambas variables. Si $x_n \to x$ e $y_n \to y$, entonces $\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle$. Esta propiedad es esencial para la teoría de espacios de Hilbert.

Bibliografía

  • Introductory Functional Analysis with Applications
    Kreyszig, E.
    Wiley, 1978. Capítulo 3.
  • Hilbert Spaces with Applications
    Debnath, L. & Mikusinski, P.
    Academic Press, 3rd ed., 2005. Capítulo 1.
  • An Introduction to Hilbert Space
    Young, N.
    Cambridge University Press, 1988. Capítulos 1–2.

Cuestionario

1. ¿Cuál de las siguientes NO es un axioma del producto interno?

2. La propiedad de simetría conjugada en un espacio complejo establece que:

3. La desigualdad de Cauchy–Schwarz establece que:

4. La identidad del paralelogramo es:

5. Un espacio pre-Hilbert es:

6. La norma inducida por un producto interno se define como:

7. ¿Cuál de las siguientes normas NO proviene de un producto interno?

8. El axioma de positividad definida establece que:

9. En un espacio real con producto interno, la linealidad en el primer argumento significa:

10. Una norma $\|\cdot\|$ proviene de un producto interno si y solo si satisface: