Capítulo 9 — Bases Ortonormales y Series de Fourier
1. Bases Ortonormales en Espacios de Hilbert
En el estudio de espacios de Hilbert, una de las nociones más poderosas es la de base ortonormal (o sistema ortonormal completo). Recordemos que un conjunto $\{e_\alpha\}_{\alpha \in A} \subset H$ es ortonormal si cada vector tiene norma uno y vectores distintos son ortogonales:
Un conjunto ortonormal $\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}$ se denomina base ortonormal (o base hilbertiana) de $H$ si el subespacio cerrado generado por $\{e_\alpha\}$ es todo $H$. Equivalentemente, es un conjunto ortonormal maximal: no existe ningún vector no nulo que sea ortogonal a todos los $e_\alpha$.
Definición formal
Un conjunto ortonormal $\mathcal{E} = \{e_\alpha\}_{\alpha \in A}$ es una base ortonormal de $H$ si se satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:
- $\overline{\operatorname{span}(\mathcal{E})} = H$ (el subespacio cerrado generado es todo $H$).
- $\mathcal{E}$ es maximal respecto a la inclusión: si $x \perp e_\alpha$ para todo $\alpha$, entonces $x = 0$.
- Todo $x \in H$ puede escribirse como $x = \sum_{\alpha \in A} \langle x, e_\alpha \rangle e_\alpha$ (serie de Fourier).
Es fundamental distinguir entre base algebraica (base de Hamel) y base ortonormal. Una base de Hamel requiere que toda combinación lineal sea finita, mientras que una base ortonormal permite series convergentes (sumas infinitas en el sentido de la norma). En un espacio de Hilbert de dimensión infinita, una base de Hamel es necesariamente no numerable, mientras que una base ortonormal puede ser numerable si $H$ es separable.
2. Existencia de Bases Ortonormales
Una pregunta natural es: ¿todo espacio de Hilbert posee una base ortonormal? La respuesta es afirmativa, pero la demostración depende de si el espacio es separable o no.
2.1. Caso separable
Un espacio de Hilbert es separable si contiene un subconjunto denso numerable. En este caso, podemos aplicar el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt a una base de Hamel numerable (que existe porque $H$ es separable) para obtener una familia ortonormal numerable cuyo span cerrado es todo $H$. Equivalentemente, partiendo de un conjunto numerable denso, extraemos un subconjunto linealmente independiente maximal y lo ortonormalizamos.
2.2. Caso no separable
Cuando el espacio de Hilbert no es separable, la base de Hamel no es numerable y el proceso de Gram–Schmidt no puede aplicarse directamente. En este caso se recurre al Lema de Zorn. Consideremos la familia $\mathcal{F}$ de todos los conjuntos ortonormales en $H$, parcialmente ordenada por inclusión. Toda cadena en $\mathcal{F}$ tiene una cota superior (la unión), por lo que $\mathcal{F}$ posee un elemento maximal. Dicho elemento maximal es precisamente una base ortonormal de $H$.
Lema de Zorn y cardinalidad
Aunque el Lema de Zorn garantiza existencia, no proporciona un método constructivo para obtener la base. Sin embargo, uno puede demostrar que dos bases ortonormales cualesquiera de un mismo espacio de Hilbert tienen la misma cardinalidad, lo cual permite definir la dimensión hilbertiana del espacio.
3. Expansión en Serie de Fourier
Dada una base ortonormal $\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ en un espacio de Hilbert separable $H$, todo vector $x \in H$ admite una representación única como serie convergente:
Esta expresión se denomina expansión de Fourier de $x$ respecto a la base $\{e_n\}$. La convergencia se entiende en el sentido de la norma de $H$: la suma parcial $S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} \langle x, e_n \rangle e_n$ converge a $x$ cuando $N \to \infty$.
La interpretación geométrica es clara: cada coeficiente $\langle x, e_n \rangle$ es la componente de $x$ en la dirección del vector base $e_n$, y la suma infinita reconstruye el vector original a partir de sus proyecciones unidimensionales. En el caso $H = \mathbb{R}^n$ con la base canónica, recuperamos la representación habitual $x = \sum_{i=1}^{n} x_i \mathbf{e}_i$.
La unicidad de la representación es inmediata: si $x = \sum a_n e_n$, tomando producto interno con $e_k$ y usando la ortonormalidad se obtiene $a_k = \langle x, e_k \rangle$.
4. Coeficientes de Fourier
Los números $c_n = \langle x, e_n \rangle$ se denominan coeficientes de Fourier de $x$ respecto a la base $\{e_n\}$. Estos coeficientes poseen una propiedad de optimalidad fundamental: entre todas las combinaciones lineales de $N$ elementos de la base, la que mejor aproxima a $x$ (en el sentido de minimizar la norma del error) es precisamente la suma parcial de Fourier.
Además, el error de aproximación viene dado por:
Esta fórmula muestra que el error decae monótonamente con $N$, y que la calidad de la aproximación depende de cuán rápido decrecen los coeficientes de Fourier.
Ejemplo clásico: Serie de Fourier trigonométrica
En el espacio $L^2([-\pi, \pi])$ con el producto interno $\langle f, g \rangle = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{g(t)}\, dt$, la familia
forma una base ortonormal. Los coeficientes de Fourier clásicos $a_n$ y $b_n$ son precisamente los coeficientes $\langle f, \cos(nt) \rangle$ y $\langle f, \sin(nt) \rangle$.
5. Desigualdad de Bessel
Para cualquier conjunto ortonormal $\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}$ (no necesariamente una base) en un espacio de Hilbert $H$, se satisface la desigualdad de Bessel:
Esta desigualdad tiene dos consecuencias inmediatas e importantes:
- Para cada $x \in H$, el conjunto de índices $\alpha$ para los cuales $\langle x, e_\alpha \rangle \neq 0$ es a lo sumo numerable.
- La aplicación $x \mapsto \{\langle x, e_\alpha \rangle\}_{\alpha \in A}$ define un operador lineal acotado de $H$ en $\ell^2(A)$ con norma menor o igual a $1$.
En el caso de un conjunto ortonormal finito $\{e_1, \dots, e_n\}$, la desigualdad de Bessel se reduce a $\sum_{k=1}^{n} |\langle x, e_k \rangle|^2 \leq \|x\|^2$, que puede interpretarse geométricamente: la suma de los cuadrados de las longitudes de las proyecciones ortogonales no excede el cuadrado de la longitud del vector original.
6. Identidad de Parseval
La identidad de Parseval (también conocida como igualdad de Plancherel) establece que un conjunto ortonormal $\{e_\alpha\}_{\alpha \in A}$ es una base ortonormal si y solo si la desigualdad de Bessel se convierte en igualdad para todo $x \in H$:
La identidad de Parseval caracteriza completamente las bases ortonormales y tiene profundas consecuencias:
- Isomorfismo isométrico con $\ell^2$: La aplicación $U: H \to \ell^2(A)$ definida por $U(x) = \{\langle x, e_\alpha \rangle\}_{\alpha \in A}$ es un isomorfismo isométrico (operador unitario). Todo espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a un espacio $\ell^2(A)$ para algún conjunto $A$.
- Identidad de polarización para la serie de Fourier:
$$ \langle x, y \rangle = \sum_{\alpha \in A} \langle x, e_\alpha \rangle \, \overline{\langle y, e_\alpha \rangle} $$
- Aproximación óptima: La serie de Fourier es el mejor aproximante, y el error tiende a cero si y solo si se cumple Parseval.
Bessel vs. Parseval: Resumen
| Propiedad | Desigualdad de Bessel | Identidad de Parseval |
|---|---|---|
| Válida para | Cualquier conjunto ortonormal | Conjunto ortonormal completo (base) |
| Expresión | $\sum |\langle x, e_\alpha \rangle|^2 \leq \|x\|^2$ | $\sum |\langle x, e_\alpha \rangle|^2 = \|x\|^2$ |
| Interpretación | La energía de las proyecciones no supera la energía total | Las proyecciones capturan toda la energía del vector |
La identidad de Parseval es, en esencia, una generalización del Teorema de Pitágoras a infinitas dimensiones. En $\mathbb{R}^n$, $\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2 = \|x\|^2$ no es más que el teorema de Pitágoras; Parseval extiende esta igualdad a sumas infinitas.