Capítulo 3 — Dependencia e Independencia Lineal

Combinaciones lineales, bases, dimensión y la base de Hamel
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Combinación Lineal

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ y sean $v_1, v_2, \dots, v_n \in V$. Una combinación lineal de dichos vectores es toda expresión de la forma:

$$ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i $$

donde los coeficientes $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ son escalares del cuerpo $\mathbb{K}$. Este concepto es el pilar sobre el cual se construye toda la teoría de espacios vectoriales: genera subespacios, define dependencia lineal y permite caracterizar bases.

Ejemplo en $\mathbb{R}^3$

Los vectores $v_1 = (1, 0, 0)$, $v_2 = (0, 1, 0)$ y $v_3 = (0, 0, 1)$ permiten escribir cualquier vector $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ como combinación lineal:

$$ (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) $$

Decimos que estos tres vectores generan todo $\mathbb{R}^3$.

Ejemplo en el espacio de polinomios

En el espacio $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ de polinomios de grado $\le n$, todo polinomio $p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ es combinación lineal de los monomios $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$ con coeficientes $a_i \in \mathbb{R}$:

$$ p(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k $$

Si consideramos un conjunto arbitrario $S \subseteq V$ (posiblemente infinito), una combinación lineal de elementos de $S$ involucra solamente una cantidad finita de vectores de $S$ con coeficientes en $\mathbb{K}$. Esta restricción de finitud es esencial y diferencia la base algebraica (Hamel) de otras nociones de base en análisis funcional.

2. Dependencia e Independencia Lineal

Definición formal

Un conjunto finito de vectores $\{v_1, \dots, v_n\} \subseteq V$ es linealmente dependiente (LD) si existen escalares $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathbb{K}$, no todos nulos, tales que:

$$ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = 0_V $$

En caso contrario, el conjunto es linealmente independiente (LI): la única forma de obtener el vector nulo como combinación lineal es tomar todos los coeficientes iguales a cero.

Para un conjunto infinito $S \subseteq V$, decimos que $S$ es linealmente independiente si todo subconjunto finito de $S$ es linealmente independiente. Si existe al menos un subconjunto finito linealmente dependiente, entonces $S$ es linealmente dependiente.

Criterio del vector nulo

Un criterio útil en la práctica establece que un conjunto $\{v_1, \dots, v_n\}$ es linealmente dependiente si y solo si al menos uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los restantes. En particular, si uno de los vectores es $0_V$, el conjunto es automáticamente LD (tomando el coeficiente de $0_V$ igual a $1$ y los demás ceros).

En $\mathbb{R}^2$, dos vectores no colineales son LI; tres vectores cualesquiera son siempre LD. En $\mathbb{R}^3$, tres vectores no coplanares son LI. Estas interpretaciones geométricas son casos particulares del concepto de dimensión, que estudiaremos más adelante.

3. Conjuntos Generadores

Dado un subconjunto $S \subseteq V$, el subespacio generado por $S$ — o span de $S$ — es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $S$:

$$ \operatorname{span}(S) = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i s_i \;\middle|\; n \in \mathbb{N},\; \alpha_i \in \mathbb{K},\; s_i \in S \right\} $$

Se verifica que $\operatorname{span}(S)$ es el menor subespacio vectorial de $V$ que contiene a $S$. Cuando $\operatorname{span}(S) = V$, decimos que $S$ es un conjunto generador de $V$.

Propiedades del span

  • $S \subseteq \operatorname{span}(S)$.
  • Si $S \subseteq T$, entonces $\operatorname{span}(S) \subseteq \operatorname{span}(T)$.
  • $\operatorname{span}(\operatorname{span}(S)) = \operatorname{span}(S)$ (idempotencia).
  • $\operatorname{span}(S \cup T) = \operatorname{span}(S) + \operatorname{span}(T)$.

En el espacio de sucesiones finitas $\mathbb{K}^{\infty}$ (sucesiones con solo finitos términos no nulos), el conjunto de vectores canónicos $e_n = (0,\dots,0,1,0,\dots)$ genera todo el espacio mediante combinaciones lineales finitas. Sin embargo, nótese que este conjunto no genera el espacio de todas las sucesiones acotadas $\ell^\infty$, donde se requieren combinaciones infinitas (series).

4. Base de un Espacio Vectorial

Un subconjunto $\mathcal{B} \subseteq V$ es una base (algebraica o de Hamel) de $V$ si satisface simultáneamente dos condiciones:

  1. Independencia lineal: $\mathcal{B}$ es un conjunto linealmente independiente.
  2. Generación: $\operatorname{span}(\mathcal{B}) = V$, es decir, $\mathcal{B}$ genera $V$.

Equivalentemente, $\mathcal{B}$ es base si y solo si todo vector $v \in V$ se expresa de manera única como combinación lineal finita de elementos de $\mathcal{B}$:

$$ v = \sum_{b \in \mathcal{B}} \alpha_b \, b \quad \text{(con solo finitos } \alpha_b \neq 0\text{)} $$

Todo espacio vectorial admite una base; este resultado depende del Lema de Zorn (equivalente al Axioma de Elección). La demostración para el caso de dimensión finita es constructiva: partiendo de un conjunto generador finito, se extrae un subconjunto LI maximal.

Ejemplos de bases

  • En $\mathbb{R}^n$: la base canónica $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ donde $e_i$ tiene un $1$ en la posición $i$ y $0$ en las demás.
  • En $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$: la base de monomios $\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$.
  • En el espacio de matrices $M_{m \times n}(\mathbb{R})$: las matrices $E_{ij}$ con un $1$ en la posición $(i,j)$ y $0$ en el resto.

5. Dimensión

Un teorema fundamental del álgebra lineal establece que todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo cardinal. Este cardinal común se denomina dimensión del espacio y se denota $\dim(V)$.

Teorema de invarianza de la dimensión

Si $V$ es un espacio vectorial y $\mathcal{B}_1$, $\mathcal{B}_2$ son dos bases de $V$, entonces $|\mathcal{B}_1| = |\mathcal{B}_2|$. En consecuencia, la dimensión $\dim(V)$ está bien definida.

Un espacio es de dimensión finita si admite una base finita; en caso contrario, es de dimensión infinita. Los espacios de dimensión finita comparten muchas propiedades con $\mathbb{R}^n$: son algebraicamente isomorfos a $\mathbb{K}^n$ donde $n = \dim(V)$.

En dimensión finita, un conjunto generador tiene al menos $n$ elementos y un conjunto LI tiene a lo sumo $n$ elementos. Un conjunto LI de exactamente $n$ elementos es automáticamente una base.

$$ \dim(\mathbb{R}^n) = n,\quad \dim(\mathcal{P}_n) = n+1,\quad \dim(M_{m\times n}) = m\cdot n $$

La dimensión es una invariante algebraica fundamental: dos espacios vectoriales son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión (sobre el mismo cuerpo).

6. Base de Hamel

La base definida en la sección anterior se denomina base de Hamel o base algebraica. Su característica esencial es que cada vector se representa como combinación lineal finita. Esta noción es suficiente para el álgebra lineal en dimensión finita, pero en análisis funcional se necesitan bases que involucren convergencia de series infinitas.

Base de Hamel vs. Base de Schauder

Una base de Schauder (o base topológica) en un espacio de Banach $X$ es una sucesión $(e_n)_{n=1}^{\infty}$ tal que para todo $x \in X$ existe una única sucesión de escalares $(\alpha_n)$ con:

$$ x = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n e_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \alpha_n e_n $$

donde la convergencia es en la norma de $X$. Esta noción es crucial en espacios de Hilbert y en el estudio de series de Fourier.

Mientras que toda base de Schauder es linealmente independiente en el sentido algebraico, no toda base de Hamel de un espacio de Banach de dimensión infinita es una base de Schauder. De hecho, la dimensión de Hamel de cualquier espacio de Banach de dimensión infinita es no numerable (al menos la cardinalidad del continuo), mientras que una base de Schauder es siempre una sucesión (numerable).

En los próximos capítulos, cuando trabajemos con espacios de Hilbert, el concepto relevante será el de base ortonormal, un caso particular de base de Schauder donde los vectores son ortogonales dos a dos y de norma unitaria.

Cuestionario

1. ¿Cuál de las siguientes es una combinación lineal de los vectores $v_1 = (1, 0)$ y $v_2 = (0, 1)$ en $\mathbb{R}^2$?

2. Sea $\{v_1, v_2, v_3\} \subseteq V$ un conjunto LI. ¿Qué puede afirmarse sobre cualquier subconjunto propio?

3. El espacio generado $\operatorname{span}(S)$ por un conjunto $S \subseteq V$ es:

4. Un conjunto $\mathcal{B} \subseteq V$ es base de $V$ si y solo si:

5. ¿Cuál de los siguientes conjuntos NO es una base de $\mathbb{R}^2$?

6. La dimensión de $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$, el espacio de polinomios de grado $\le 3$, es:

7. En un espacio vectorial de dimensión $n$, todo conjunto de $n$ vectores linealmente independientes es:

8. Una base de Hamel se caracteriza por:

9. La diferencia esencial entre una base de Hamel y una base de Schauder en un espacio de Banach es:

10. ¿Son los vectores $(1,0,1)$, $(2,1,3)$ y $(0,1,1)$ linealmente independientes en $\mathbb{R}^3$?