Capítulo 5 — Sucesiones de Cauchy y Completez
1. Sucesiones Convergentes en Espacios Normados
Sea $(X, \|\cdot\|)$ un espacio normado sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ converge a un límite $x \in X$ si para todo $\varepsilon > 0$ existe un índice $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N$ se cumple $\|x_n - x\| < \varepsilon$.
En palabras: los términos de la sucesión se acercan arbitrariamente al límite en el sentido de la norma cuando el índice es suficientemente grande. La convergencia depende de la norma elegida; una sucesión puede converger en una norma pero no en otra.
Notación
Escribimos $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} x$ o simplemente $x_n \to x$ cuando no hay ambigüedad respecto a la norma. Si necesitamos enfatizar la norma, escribimos $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|_p} x$.
En $\mathbb{R}^n$ con la norma euclídea, la convergencia $x_k \to x$ equivale a la convergencia coordenada a coordenada. En espacios de funciones, la convergencia en norma del supremo coincide con la convergencia uniforme.
2. Sucesiones de Cauchy
Una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe un índice $N \in \mathbb{N}$ tal que para todos $m, n \geq N$ se cumple $\|x_m - x_n\| < \varepsilon$.
Intuitivamente, una sucesi\u00f3n es de Cauchy si sus términos se acercan entre sí a medida que el índice crece. La condición de Cauchy es intrínseca a la sucesión: no requiere conocer el límite a priori.
Relación fundamental
En todo espacio normado, toda sucesión convergente es de Cauchy. En efecto, si $x_n \to x$, entonces por la desigualdad triangular:
Sin embargo, la implicación recíproca no es cierta en general: existen espacios normados donde hay sucesiones de Cauchy que no convergen (a ningún elemento del espacio).
Una propiedad importante: toda sucesión de Cauchy es acotada. Es decir, existe $M > 0$ tal que $\|x_n\| \leq M$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
3. Espacios Completos
Un espacio normado $(X, \|\cdot\|)$ se dice completo si toda sucesión de Cauchy en $X$ converge a un elemento de $X$. En otras palabras, en un espacio completo no existen sucesiones de Cauchy que «escapen» del espacio.
La completez es una propiedad fundamental del análisis funcional: garantiza que los procesos de aproximación y los límites de sucesiones que «deberían converger» efectivamente lo hacen dentro del espacio.
Completez y conjuntos cerrados
En un espacio métrico completo, un subconjunto es completo (con la métrica inducida) si y solo si es cerrado. Esta caracterización es crucial para verificar la completez de subespacios.
En dimensión finita, todo espacio normado es completo. El verdadero interés de la noción de completez aparece en dimensión infinita, donde no todos los espacios normados son completos.
4. Definición de Espacio de Banach
Un espacio de Banach es un espacio normado completo. Formalmente:
Los espacios de Banach constituyen el marco natural para el análisis funcional lineal. La completez permite aplicar teoremas fundamentales como el principio de acotación uniforme (Banach–Steinhaus), el teorema de la aplicación abierta y el teorema del gráfico cerrado.
Origen del nombre
Se denominan así en honor al matemático polaco Stefan Banach (1892–1945), uno de los fundadores del análisis funcional moderno y autor de la monumental obra Théorie des opérations linéaires (1932).
5. Ejemplos de Espacios de Banach
5.1. $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{C}^n$ con cualquier norma
Para todo $n \in \mathbb{N}$, los espacios $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{C}^n$ son completos con cualquier norma, ya que en dimensión finita todas las normas son equivalentes y la completez se preserva por equivalencia de normas.
5.2. $C[a,b]$ con la norma del supremo
El espacio de funciones continuas en $[a,b]$ con la norma
es un espacio de Banach. La completez se sigue del hecho de que el límite uniforme de funciones continuas es continuo.
5.3. Espacios $\ell^p$ para $1 \leq p \leq \infty$
Los espacios de sucesiones $p$-sumables $\ell^p$ con la norma $\|(a_n)\|_p = (\sum |a_n|^p)^{1/p}$ (y $\|\cdot\|_\infty$ para $p=\infty$) son espacios de Banach.
5.4. Espacios $L^p(\Omega)$
Los espacios de Lebesgue $L^p(\Omega)$ de funciones $p$-integrables en un dominio $\Omega$ son completos. Este resultado es el célebre teorema de Riesz–Fischer.
6. Ejemplos de Espacios NO Completos
6.1. $C[a,b]$ con la norma $L^1$
Si equipamos $C[a,b]$ con la norma integral
el espacio no es completo. Pueden construirse sucesiones de funciones continuas que convergen en norma $L^1$ a una función discontinua. Por ejemplo, una sucesión que aproxima la función escalón en $[0,1]$:
Cada $f_n$ es continua, la sucesión es de Cauchy en $\|\cdot\|_1$, pero el límite puntual es una función discontinua que no pertenece a $C[0,1]$.
Completación de $C[a,b]$ bajo $\|\cdot\|_1$
La completación de $C[a,b]$ respecto de la norma $L^1$ es precisamente el espacio de Lebesgue $L^1[a,b]$, que incluye funciones integrables (no necesariamente continuas). El proceso de completación es un método general para construir espacios de Banach a partir de espacios normados incompletos.
6.2. $\mathbb{Q}$ como espacio normado
Los números racionales $\mathbb{Q}$ con la norma del valor absoluto $| \cdot |$ es un espacio normado sobre $\mathbb{Q}$, pero no es completo. La sucesión definida por $x_1 = 1$, $x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}$ es de Cauchy en $\mathbb{Q}$ pero su límite es $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
6.3. Espacio de polinomios $\mathcal{P}[a,b]$
El espacio de polinomios en $[a,b]$ con la norma del supremo no es completo: existen sucesiones de polinomios cuyo límite uniforme es una función no polinómica (por ejemplo, $e^x$ o $\sin x$).
Bibliografía
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Introductory Functional Analysis with ApplicationsWiley, 1978. Capítulos 1–2.
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Functional AnalysisMcGraw-Hill, 2nd ed., 1991. Capítulos 1–3.
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Real AnalysisPearson, 4th ed., 2010. Capítulos 7, 14.