Capítulo 2 — Espacios Vectoriales: Definición y Propiedades

1. Definición formal de espacio vectorial

Sea $F$ un cuerpo (por ejemplo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) y $V$ un conjunto no vacío. Un espacio vectorial sobre $F$ es una terna $(F, V, \cdot)$ junto con dos operaciones: suma vectorial $+ : V \times V \to V$ y producto por escalar $\cdot : F \times V \to V$, que satisfacen los siguientes ocho axiomas:

Axiomas de la suma vectorial

Conmutatividad: $u + v = v + u$ para todo $u, v \in V$.
Asociatividad: $(u + v) + w = u + (v + w)$ para todo $u, v, w \in V$.
Elemento neutro: Existe $0_V \in V$ tal que $v + 0_V = v$ para todo $v \in V$.
Inverso aditivo: Para cada $v \in V$ existe $-v \in V$ tal que $v + (-v) = 0_V$.

Axiomas del producto por escalar

Compatibilidad: $a \cdot (b \cdot v) = (ab) \cdot v$ para todo $a, b \in F$, $v \in V$.
Neutro escalar: $1_F \cdot v = v$ para todo $v \in V$, donde $1_F$ es la identidad de $F$.
Distributividad vectorial: $a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v$ para todo $a \in F$, $u, v \in V$.
Distributividad escalar: $(a + b) \cdot v = a \cdot v + b \cdot v$ para todo $a, b \in F$, $v \in V$.

Los axiomas 1 al 4 establecen que $(V, +)$ es un grupo abeliano. Los axiomas 5 al 8 gobiernan la interacción entre escalares y vectores. Cuando el cuerpo $F$ es $\mathbb{R}$, hablamos de un espacio vectorial real; cuando $F = \mathbb{C}$, de un espacio vectorial complejo.

$$ V \text{ es e.v. sobre } F \iff \begin{cases} (V,+) \text{ es grupo abeliano}, \\ \forall a,b \in F,\; \forall u,v \in V: \; a(bv) = (ab)v, \; 1_F v = v, \; a(u+v) = au + av, \; (a+b)v = av + bv \end{cases} $$

2. Ejemplos canónicos

El espacio $\mathbb{R}^n$

El conjunto de todas las $n$-tuplas de números reales $\mathbb{R}^n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ con la suma componente a componente y el producto por escalar definidos por:

$(x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$ y $c \cdot (x_1, \dots, x_n) = (c x_1, \dots, c x_n)$.

Es el ejemplo prototípico de espacio vectorial real. Análogamente, $\mathbb{C}^n$ es un espacio vectorial complejo.

Otro ejemplo fundamental es el espacio de matrices:

$$ M_{m \times n}(F) = \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} : a_{ij} \in F \right\} $$

La suma de matrices y el producto por escalares se definen entrada a entrada. La dimensión de este espacio es $m \cdot n$.

El espacio de polinomios con coeficientes en $F$, denotado $F[x]$, también es un espacio vectorial. La suma de polinomios y el producto de un polinomio por un escalar se definen de la manera usual. El conjunto de polinomios de grado a lo sumo $n$, denotado $P_n(F)$, es un subespacio de $F[x]$ de dimensión $n+1$.

$$ P_n(\mathbb{R}) = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n : a_i \in \mathbb{R}\} $$

3. Propiedades elementales

A partir de los ocho axiomas de espacio vectorial se deducen varias propiedades que resultan intuitivas pero requieren demostración formal:

Propiedades fundamentales

El escalar cero aniquila cualquier vector: $0_F \cdot v = 0_V$ para todo $v \in V$.
Un escalar por el vector cero da el vector cero: $a \cdot 0_V = 0_V$ para todo $a \in F$.
El inverso aditivo de un vector: $-v = (-1_F) \cdot v$ para todo $v \in V$.
Si $a \cdot v = 0_V$, entonces $a = 0_F$ o $v = 0_V$.

Demostramos la propiedad $-v = (-1_F) \cdot v$: partiendo de que $1_F \cdot v = v$ y usando distributividad escalar:

$$ v + (-1_F) \cdot v = 1_F \cdot v + (-1_F) \cdot v = (1_F + (-1_F)) \cdot v = 0_F \cdot v = 0_V $$

Como $v + (-1_F) \cdot v = 0_V$, por unicidad del inverso aditivo concluimos que $(-1_F) \cdot v = -v$.

$$ v + w = 0_V \;\Longrightarrow\; w = -v \quad \text{(unicidad del inverso aditivo)} $$

4. Subespacios vectoriales

Un subconjunto $U \subseteq V$ de un espacio vectorial $V$ sobre $F$ es un subespacio vectorial si $U$ mismo es un espacio vectorial con las mismas operaciones heredadas de $V$.

En lugar de verificar los ocho axiomas, existe un criterio práctico que reduce la comprobación a tres condiciones:

Criterio de subespacio

Un subconjunto no vacío $U \subseteq V$ es un subespacio vectorial si y solo si:

$0_V \in U$ (contiene al vector cero).
$u, v \in U \;\Longrightarrow\; u + v \in U$ (cerrado bajo suma).
$a \in F,\; u \in U \;\Longrightarrow\; a \cdot u \in U$ (cerrado bajo producto por escalar).

Alternativamente, las condiciones 2 y 3 pueden combinarse en una sola: para todo $a, b \in F$ y $u, v \in U$, se tiene $a \cdot u + b \cdot v \in U$.

$$ U \leq V \iff \forall a,b \in F,\; \forall u,v \in U : \; a u + b v \in U \quad \land \quad U \neq \varnothing $$

Ejemplos de subespacios de $\mathbb{R}^3$:

$\{0\}$ (el subespacio trivial).
Rectas que pasan por el origen: $\{t \cdot \vec{d} : t \in \mathbb{R}\}$ para un vector director $\vec{d} \neq \vec{0}$.
Planos que pasan por el origen: $\{s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v} : s, t \in \mathbb{R}\}$ para vectores $\vec{u}, \vec{v}$ no colineales.

5. Espacios de funciones

Los espacios vectoriales no se limitan a tuplas finitas. Existen ejemplos de gran importancia en análisis matemático y física, como los espacios de funciones.

$C[a, b]$: Funciones continuas en un intervalo

El conjunto de todas las funciones continuas $f : [a, b] \to \mathbb{R}$, denotado $C[a, b]$, es un espacio vectorial real con las operaciones punto a punto:

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ para todo $x \in [a, b]$.
$(c \cdot f)(x) = c \cdot f(x)$ para todo $x \in [a, b]$ y $c \in \mathbb{R}$.

La función constante cero $f(x) = 0$ es el vector nulo. A diferencia de $\mathbb{R}^n$, este espacio tiene dimensión infinita.

Otro espacio de gran relevancia es el espacio de sucesiones:

$$ \ell^2 = \left\{ (x_n)_{n=1}^{\infty} \subseteq \mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 \lt \infty \right\} $$

El espacio $\ell^2$ es el conjunto de todas las sucesiones de cuadrado sumable. Más adelante veremos que este espacio, equipado con un producto interno adecuado, se convierte en un espacio de Hilbert.

También es importante el espacio de todas las funciones de un conjunto $X$ en un cuerpo $F$, denotado $\mathcal{F}(X, F)$, que generaliza la noción de $\mathbb{R}^n$ al caso de infinitas coordenadas.

$$ \dim(C[a,b]) = \infty, \qquad \dim(\mathbb{R}^n) = n $$

6. Intersección y suma de subespacios

Dados dos subespacios $U$ y $W$ de un espacio vectorial $V$, podemos construir nuevos subespacios mediante dos operaciones fundamentales:

Intersección de subespacios

La intersección $U \cap W = \{v \in V : v \in U \;\text{y}\; v \in W\}$ siempre es un subespacio vectorial de $V$. De hecho, la intersección de cualquier familia (finita o infinita) de subespacios es nuevamente un subespacio.

Por otro lado, la unión de subespacios generalmente no es un subespacio. Para obtener un subespacio que contenga tanto a $U$ como a $W$, se define la suma:

Suma de subespacios

La suma $U + W = \{u + w : u \in U, \; w \in W\}$ es un subespacio vectorial de $V$. Es el subespacio más pequeño que contiene tanto a $U$ como a $W$.

La relación entre las dimensiones de estos subespacios viene dada por la fórmula de Grassmann:

$$ \dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W) $$

Cuando $U \cap W = \{0_V\}$, decimos que la suma es directa y la denotamos $U \oplus W$. En este caso, cada vector de $U \oplus W$ se escribe de manera única como suma de un vector de $U$ y uno de $W$. La fórmula de Grassmann se simplifica a $\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$.