Capítulo 4 — Espacios Normados: Definición y Ejemplos
1. Definición de Norma
Sea $X$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ (donde $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Una norma sobre $X$ es una función $\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ que satisface los siguientes tres axiomas para todo $x, y \in X$ y $\alpha \in \mathbb{K}$:
Axiomas de norma
(N1) Definición positiva: $\|x\| \ge 0$ y $\|x\| = 0 \iff x = 0_X$.
(N2) Homogeneidad absoluta: $\|\alpha x\| = |\alpha| \, \|x\|$.
(N3) Desigualdad triangular: $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$.
El par $(X, \|\cdot\|)$ se denomina espacio normado. La norma dota al espacio vectorial de una noción de longitud o magnitud de sus vectores, que a su vez induce una topología y permite hablar de límites y convergencia.
El axioma (N2) implica que $\|{-x}\| = \|x\|$ (simetría) y que $\|0_X\| = 0$. El axioma (N3) es el análogo de la desigualdad triangular en $\mathbb{R}^n$ y es, con frecuencia, el más difícil de verificar.
2. Propiedades Fundamentales
Desigualdad triangular inversa
De los axiomas de norma se deduce una segunda desigualdad fundamental, conocida como desigualdad triangular inversa:
Esta desigualdad es de gran utilidad para demostrar la continuidad de la función norma y para estimar la diferencia de magnitudes entre dos vectores.
Continuidad de la norma
En un espacio normado, la función $\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua. En efecto, de la desigualdad triangular inversa se sigue:
Esto implica que si $x_n \to x$ en norma, entonces $\|x_n\| \to \|x\|$ en $\mathbb{R}$. Esta propiedad es esencial para el desarrollo del análisis en espacios normados.
La bola unitaria
La bola unitaria cerrada de un espacio normado es el conjunto $B_X = \{x \in X : \|x\| \le 1\}$. Su forma geométrica depende de la norma elegida y revela propiedades importantes: convexidad, simetría respecto al origen y compacidad (en dimensión finita).
3. Espacios Normados como Espacios Métricos
Toda norma induce de manera natural una métrica (distancia) sobre $X$:
La función $d$ satisface los axiomas de métrica: es positiva definida, simétrica y cumple la desigualdad triangular. Así, todo espacio normado $(X, \|\cdot\|)$ es automáticamente un espacio métrico $(X, d)$.
Esta conexión es fundamental: permite trasladar toda la maquinaria de la topología métrica (convergencia, continuidad, completez, compacidad) al contexto de los espacios normados. La noción de convergencia $x_n \to x$ en $X$ equivale a $\|x_n - x\| \to 0$.
Recíproca
No toda métrica proviene de una norma. Para que una métrica $d$ sea inducida por una norma debe satisfacer dos condiciones adicionales:
$d(x+z, y+z) = d(x, y)$ (invariancia por traslación) y $d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| \, d(x, y)$ (homogeneidad). Por ejemplo, la métrica discreta no proviene de ninguna norma.
4. Normas $L^p$ en $\mathbb{R}^n$
Sobre el espacio $\mathbb{R}^n$ (y $\mathbb{C}^n$) se definen familias de normas parametrizadas por $p \in [1, \infty]$. Para un vector $x = (x_1, \dots, x_n)$:
Los casos más importantes son:
- Norma-1 ($p=1$): $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$, también llamada norma del taxista o de Manhattan. La bola unitaria en $\mathbb{R}^2$ es un rombo.
- Norma-2 ($p=2$): $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}$, la norma euclídea clásica. La bola unitaria en $\mathbb{R}^2$ es un círculo. Es la única norma $L^p$ inducida por un producto interno.
- Norma-$\infty$: $\|x\|_{\infty} = \max_i |x_i|$, también llamada norma del máximo o de Chebyshev. La bola unitaria en $\mathbb{R}^2$ es un cuadrado.
Desigualdad de Minkowski finita
La validez del axioma triangular para $\|\cdot\|_p$ se conoce como desigualdad de Minkowski:
Para $p=1$ es trivial (desigualdad triangular para el valor absoluto); para $p>1$, su demostración se apoya en la desigualdad de Hölder.
5. Equivalencia de Normas en Dimensión Finita
Dos normas $\|\cdot\|_a$ y $\|\cdot\|_b$ sobre un mismo espacio $X$ se dicen equivalentes si existen constantes $c, C > 0$ tales que:
Teorema fundamental
En dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Esto significa que la topología inducida (abiertos, convergencia, continuidad) es la misma para cualquier norma. En particular, para todo $1 \le p \le \infty$, las normas $\|\cdot\|_p$ en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes.
Las constantes de equivalencia óptimas entre las normas $L^p$ en $\mathbb{R}^n$ son bien conocidas:
En dimensión infinita el panorama cambia radicalmente: existen normas no equivalentes que inducen topologías distintas. Por ejemplo, en $C([0,1])$ la norma del supremo $\|f\|_{\infty}$ y la norma $L^1$ $\|f\|_1 = \int_0^1 |f|$ no son equivalentes, y la completez del espacio depende de cuál se utilice.
6. Espacios de Funciones $L^p$
Los espacios $L^p$ generalizan las normas $L^p$ finitas al contexto de funciones. Dado un espacio de medida $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, para $1 \le p \lt \infty$ se define:
con la norma:
(Con el convenio habitual de identificar funciones que coinciden en casi todo punto). Para $p = \infty$:
Los tres casos de mayor relevancia son:
- $L^1$: funciones absolutamente integrables. Aparece en la teoría de la integral de Lebesgue y en probabilidad (esperanzas).
- $L^2$: funciones de cuadrado integrable. Es el único espacio $L^p$ que es un espacio de Hilbert, con producto interno $\langle f, g \rangle = \int f \overline{g} \, d\mu$. Es central en mecánica cuántica y procesamiento de señales.
- $L^\infty$: funciones esencialmente acotadas. Aparece en problemas de control óptimo y en la dualidad de los espacios $L^p$.
Teorema de Riesz-Fischer
Los espacios $L^p$ son completos para todo $1 \le p \le \infty$. Es decir, $(L^p, \|\cdot\|_p)$ es un espacio de Banach. En particular, $L^2$ es un espacio de Hilbert, lo cual lo convierte en el ejemplo prototípico de los espacios que estudiaremos en los próximos capítulos.
Los espacios $L^p$ son el escenario natural donde se desarrolla el análisis funcional moderno. Su estructura combina la linealidad del espacio vectorial con la topología de la norma, y su completez garantiza que las técnicas de aproximación y convergencia funcionan de manera robusta.