Capítulo 6 — Estadísticas Cuánticas

Bosones, fermiones y las distribuciones de Bose-Einstein y Fermi-Dirac
Prof. Mariano Miguel Lanzi

1. Indistinguibilidad Cuántica

En mecánica cuántica, las partículas idénticas son indistinguibles en principio. No es posible etiquetarlas ni seguir sus trayectorias individuales. Esta propiedad fundamental tiene consecuencias profundas para la función de onda de un sistema de $N$ partículas idénticas. Bajo el intercambio de dos partículas, la función de onda debe ser simétrica (bosones) o antisimétrica (fermiones):

$$ \Psi(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots, \mathbf{r}_N) = \pm \Psi(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_j, \ldots, \mathbf{r}_i, \ldots, \mathbf{r}_N) $$

El signo $+$ corresponde a bosones (espín entero: fotones, fonones, mesones, átomos de $\mathrm{{}^4He}$) y el signo $-$ a fermiones (espín semientero: electrones, protones, neutrones, átomos de $\mathrm{{}^3He}$). Esta dicotomía está dictada por el teorema de la estadística del espín, demostrado por Pauli en 1940 en el marco de la teoría cuántica de campos.

La consecuencia inmediata para los fermiones es el principio de exclusión de Pauli: dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Para los bosones, en cambio, no existe tal restricción y múltiples partículas pueden acumularse en un mismo estado.

Teorema de la estadística del espín

En relatividad especial combinada con mecánica cuántica, se demuestra que partículas de espín entero obedecen necesariamente la estadística de Bose-Einstein, mientras que las de espín semientero obedecen la de Fermi-Dirac. No existe consistencia teórica para ninguna otra asignación.

2. Distribución de Bose-Einstein

Para un gas ideal de bosones en el ensamble gran canónico, cada nivel de energía $\varepsilon_i$ con degeneración $g_i$ puede albergar cualquier número de partículas. La función de partición gran canónica para un nivel se obtiene sumando sobre todas las ocupaciones posibles $n_i = 0, 1, 2, \ldots$:

$$ \Xi_i^{\text{BE}} = \sum_{n_i=0}^{\infty} e^{\beta(\mu - \varepsilon_i) n_i} = \frac{1}{1 - e^{\beta(\mu - \varepsilon_i)}} $$

El número medio de ocupación se obtiene mediante $\langle n_i \rangle = \frac{1}{\beta} \frac{\partial \ln \Xi_i}{\partial \mu}$, resultando en la célebre distribución de Bose-Einstein:

$$ \langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_i - \mu)} - 1} $$

La condición de convergencia de la serie geométrica exige que $e^{\beta(\mu - \varepsilon_i)} < 1$ para todo nivel, lo que implica $\mu < \varepsilon_0$ (donde $\varepsilon_0$ es la energía del estado fundamental). Para fotones, cuyo número no se conserva, se toma $\mu = 0$.

A bajas energías ($\varepsilon_i \approx \mu$), el número de ocupación puede diverger: $\langle n_i \rangle \to \infty$ cuando $\varepsilon_i \to \mu^+$. Esto es la base matemática del fenómeno de condensación de Bose-Einstein.

Restricción sobre el potencial químico

Para bosones con número conservado, el potencial químico debe satisfacer $\mu < \varepsilon_0$. Si $\mu$ se aproxima a $\varepsilon_0$, la ocupación del estado fundamental crece sin cota, señalando la transición al condensado de Bose-Einstein.

3. Distribución de Fermi-Dirac

Para fermiones, el principio de exclusión de Pauli restringe la ocupación de cada estado cuántico a $n_i = 0$ o $n_i = 1$. La función de partición gran canónica para un nivel es entonces una suma finita de solo dos términos:

$$ \Xi_i^{\text{FD}} = 1 + e^{\beta(\mu - \varepsilon_i)} $$

El número medio de ocupación resultante es la distribución de Fermi-Dirac:

$$ \langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_i - \mu)} + 1} $$

La diferencia crucial frente a la distribución de Bose-Einstein es el signo $+$ en el denominador. A temperatura cero ($T = 0$), la distribución se convierte en una función escalón: $\langle n_i \rangle = 1$ para $\varepsilon_i < \mu$ y $\langle n_i \rangle = 0$ para $\varepsilon_i > \mu$. El potencial químico a $T = 0$ define la energía de Fermi: $\mu(T=0) \equiv \varepsilon_F$.

Propiedades a temperatura finita

Para $T > 0$, la distribución de Fermi-Dirac se suaviza alrededor de $\varepsilon = \mu$ en una región de ancho $\sim k_B T$. Los estados con $\varepsilon \ll \mu$ permanecen esencialmente llenos ($\langle n \rangle \approx 1$) y los estados con $\varepsilon \gg \mu$ permanecen esencialmente vacíos ($\langle n \rangle \approx 0$).

4. Límite Clásico

Cuando la densidad es suficientemente baja y la temperatura suficientemente alta, la ocupación media de cualquier estado es mucho menor que la unidad. Esta condición se expresa como $e^{\beta(\varepsilon_i - \mu)} \gg 1$ para todo $i$. En este régimen, el $\pm 1$ en los denominadores de las distribuciones cuánticas se vuelve despreciable:

$$ \langle n_i \rangle^{\text{BE}} \approx \langle n_i \rangle^{\text{FD}} \approx e^{\beta(\mu - \varepsilon_i)} = \langle n_i \rangle^{\text{MB}} $$

Ambas distribuciones convergen a la distribución de Maxwell-Boltzmann. La condición para la validez del límite clásico puede escribirse en términos de la longitud de onda térmica y la densidad numérica $n = N/V$:

$$ n \lambda^3 \ll 1 \quad \text{(límite clásico)} $$

Cuando $n\lambda^3 \sim 1$ o mayor, los efectos cuánticos de la estadística se vuelven relevantes. Para un gas de electrones en un metal típico ($n \sim 10^{28}\ \mathrm{m}^{-3}$), $n\lambda^3 \gg 1$ a temperatura ambiente, por lo que el tratamiento cuántico (Fermi-Dirac) es imprescindible. Para gases atómicos diluidos a temperatura ambiente, $n\lambda^3 \ll 1$ y la estadística clásica es una excelente aproximación.

Criterio de degeneración

El parámetro $n\lambda^3$ mide el grado de degeneración cuántica. Cuando $n\lambda^3 \ll 1$ el gas es no degenerado (clásico); cuando $n\lambda^3 \gtrsim 1$ el gas es degenerado y requiere estadística cuántica. La transición ocurre cuando la separación media entre partículas se vuelve comparable a la longitud de onda térmica.

5. Condensación de Bose-Einstein

La condensación de Bose-Einstein (BEC) es una transición de fase puramente cuántica que ocurre en gases de bosones a temperaturas ultrabajas, sin intervención de interacciones. Fue predicha por Einstein en 1925 basándose en el trabajo de Bose sobre fotones, y observada experimentalmente por primera vez en 1995 en gases de átomos alcalinos ($\mathrm{{}^{87}Rb}$, $\mathrm{{}^{23}Na}$, $\mathrm{{}^{7}Li}$).

Para un gas ideal de bosones en tres dimensiones, la temperatura crítica $T_c$ por debajo de la cual una fracción macroscópica de partículas ocupa el estado fundamental ($\mathbf{p} = 0$) es:

$$ T_c = \frac{2\pi\hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} \approx 3.31 \, \frac{\hbar^2 n^{2/3}}{m k_B} $$

donde $\zeta(3/2) \approx 2.612$ es la función zeta de Riemann. Para $T < T_c$, la fracción de partículas en el condensado (estado fundamental) crece según:

$$ \frac{N_0}{N} = 1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^{3/2}, \qquad (T < T_c) $$

En el cero absoluto, todas las partículas ocupan el estado fundamental: $N_0/N \to 1$ cuando $T \to 0$. La transición BEC no involucra interacciones (ocurre incluso en el gas ideal) y es una manifestación directa de la estadística bosónica y la indistinguibilidad cuántica.

La condensación de Bose-Einstein está íntimamente relacionada con la superfluidez en $\mathrm{{}^4He}$ (descubierta por Kapitsa, Allen y Misener en 1938), aunque en ese caso las interacciones juegan un papel importante que modifica la fracción condensada.

Premios Nobel relacionados

La observación experimental del BEC en gases atómicos les valió el Premio Nobel de Física 2001 a Eric Cornell, Carl Wieman y Wolfgang Ketterle. La teoría de la superfluidez en $\mathrm{{}^4He}$ le valió el Nobel de Física 1962 a Lev Landau.

6. Gas de Fermi Degenerado

Un gas de fermiones a temperaturas $T \ll T_F$ (donde $T_F = \varepsilon_F/k_B$ es la temperatura de Fermi) se denomina degenerado. En este régimen, el principio de exclusión de Pauli domina la física: los estados de baja energía están completamente llenos y solo los fermiones cercanos a la superficie de Fermi pueden ser excitados térmicamente.

Para un gas de fermiones libres de espín $s = 1/2$ (con degeneración $g = 2s+1 = 2$), la energía de Fermi en tres dimensiones es:

$$ \varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3} $$

La temperatura de Fermi correspondiente, $T_F = \varepsilon_F/k_B$, establece la escala de temperatura por debajo de la cual los efectos cuánticos son dominantes:

$$ T_F = \frac{\hbar^2}{2m k_B} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3} $$

Para electrones en un metal típico ($n \sim 10^{28}\ \mathrm{m}^{-3}$, $m = m_e$), se obtiene $\varepsilon_F \sim 2\ \mathrm{a}\ 10\ \mathrm{eV}$, lo que corresponde a $T_F \sim 2\times 10^{4}\ \mathrm{a}\ 10^{5}\ \mathrm{K}$. Esto significa que los electrones en metales están siempre en el régimen degenerado a temperatura ambiente, hecho fundamental para entender la conducción eléctrica y térmica en metales.

Gas de electrones en metales

A temperatura ambiente ($T \sim 300\ \mathrm{K}$), $T/T_F \sim 10^{-2}$, por lo que solo una pequeña fracción de electrones ($\sim k_B T/\varepsilon_F$) cerca de la superficie de Fermi participa en procesos de transporte y en la capacidad calorífica electrónica $C_V^e \propto T$. Esto explica por qué $C_V^e$ es mucho menor que la predicción clásica $\frac{3}{2}Nk_B$ de Dulong-Petit.

Bibliografía

  • Statistical Mechanics
    Pathria, R. K. & Beale, P. D.
    Academic Press, 4th ed., 2021. Capítulos 8–11.
  • Thermal Physics
    Reif, F.
    W. H. Freeman, 1965. Capítulos 9–10.
  • Statistical Physics (Vol. I)
    Landau, L. D. & Lifshitz, E. M.
    Butterworth-Heinemann, 3rd ed., 1980. Capítulos V, XI.
  • Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases
    Pethick, C. J. & Smith, H.
    Cambridge University Press, 2nd ed., 2008.
  • Introduction to Solid State Physics
    Kittel, C.
    Wiley, 8th ed., 2005. Capítulos 2, 9.

Cuestionario

1. Los bosones se caracterizan por tener funciones de onda de muchas partículas que son:

2. La distribución de Bose-Einstein para el número medio de ocupación $\langle n_i \rangle$ es:

3. Según el principio de exclusión de Pauli, el número máximo de fermiones idénticos que pueden ocupar un mismo estado cuántico es:

4. La distribución de Fermi-Dirac a temperatura $T = 0$ tiene la forma de:

5. En el límite clásico ($e^{\beta(\varepsilon - \mu)} \gg 1$), las distribuciones de Bose-Einstein y Fermi-Dirac:

6. La energía de Fermi $\varepsilon_F$ para un gas de electrones libres tridimensional depende de la densidad $n$ como:

7. La temperatura de Fermi $T_F$ se define como:

8. El potencial químico $\mu$ en un gas de bosones ideales debe satisfacer:

9. La condición para la validez del límite clásico de las estadísticas cuánticas es:

10. La fracción condensada $N_0/N$ en un BEC por debajo de $T_c$ varía con la temperatura como: