Capítulo 7

Gas de Fotones y Radiación de Cuerpo Negro

1. Fotones como gas de Bose con $\mu = 0$

Los fotones son bosones de espín $1$ y masa en reposo nula. En una cavidad en equilibrio térmico a temperatura $T$, las paredes emiten y absorben fotones continuamente, por lo que el número de fotones no se conserva. Esta ausencia de restricción sobre $N$ implica que el potencial químico del gas de fotones es idénticamente nulo:

$$\mu = 0 \quad \text{(gas de fotones)}$$

La distribución de ocupación para cada modo de frecuencia $\omega$ es la de Bose-Einstein con $\mu = 0$:

$$\langle n(\omega) \rangle = \frac{1}{e^{\beta \hbar \omega} - 1}$$

donde $\beta = 1/(k_B T)$. Nótese el contraste con un gas de bosones masivos (como $^4$He), donde $\mu$ es finito y se determina por la condición de número fijo de partículas. Para fotones, el equilibrio se alcanza cuando la energía libre de Helmholtz $F$ se minimiza sin restricción alguna sobre $N$: $\partial F/\partial N = \mu = 0$.

Nota clave

El hecho de que $\mu = 0$ es lo que diferencia al gas de fotones de cualquier otro gas de Bose. No existe una temperatura crítica de condensación de Bose-Einstein para fotones libres, ya que el número de partículas puede ajustarse arbitrariamente para cada $T$.

2. Densidad de estados para fotones

Dentro de una cavidad cúbica de volumen $V = L^3$ con condiciones periódicas de contorno, los vectores de onda permitidos son:

$$\mathbf{k} = \frac{2\pi}{L}(n_x,\, n_y,\, n_z), \qquad n_i \in \mathbb{Z}$$

La relación de dispersión para fotones es $\omega = c|\mathbf{k}| = c k$. El número de modos con vector de onda entre $k$ y $k + \mathrm{d}k$ en el espacio recíproco es:

$$\frac{V}{(2\pi)^3} \cdot 4\pi k^2 \,\mathrm{d}k \cdot 2$$

El factor $2$ corresponde a las dos polarizaciones transversales independientes del fotón (helicidad $\pm 1$). La componente longitudinal no existe para partículas de masa nula. Usando $\omega = ck$ y $\mathrm{d}k = \mathrm{d}\omega/c$, la densidad de estados por unidad de frecuencia es:

$$g(\omega)\,\mathrm{d}\omega = \frac{V \omega^2}{\pi^2 c^3}\,\mathrm{d}\omega$$

Esta expresión es esencial para todos los cálculos que siguen. Nótese la dependencia cuadrática $g(\omega) \propto \omega^2$, característica de excitaciones lineales en tres dimensiones.

3. Ley de Planck

La densidad de energía espectral $u(\omega, T)$ —energía por unidad de volumen y por unidad de frecuencia angular— se obtiene multiplicando la densidad de estados por la energía de cada modo y su ocupación media:

$$u(\omega, T) = \frac{\hbar \omega^3}{\pi^2 c^3} \cdot \frac{1}{e^{\beta \hbar \omega} - 1}$$

Esta es la célebre ley de Planck (1900), que marcó el nacimiento de la mecánica cuántica. En términos de la frecuencia $\nu = \omega/2\pi$:

$$u(\nu, T)\,\mathrm{d}\nu = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1}\,\mathrm{d}\nu$$

Y en términos de la longitud de onda $\lambda = c/\nu$, usando $|\mathrm{d}\nu| = (c/\lambda^2)\,\mathrm{d}\lambda$:

$$u(\lambda, T)\,\mathrm{d}\lambda = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{h c / (\lambda k_B T)} - 1}\,\mathrm{d}\lambda$$

4. Ley de Stefan-Boltzmann

La densidad total de energía se obtiene integrando $u(\omega, T)$ sobre todas las frecuencias. Con el cambio de variable $x = \beta \hbar \omega$:

$$u(T) = \int_0^\infty u(\omega, T)\,\mathrm{d}\omega = \frac{(k_B T)^4}{\pi^2 c^3 \hbar^3} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1}\,\mathrm{d}x$$

La integral adimensional es un caso particular de la función zeta de Riemann:

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1}\,\mathrm{d}x = \Gamma(4)\,\zeta(4) = 6 \cdot \frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{15}$$

Resultando en la ley de Stefan-Boltzmann:

$$\frac{U}{V} = u(T) = a\,T^4, \qquad a = \frac{\pi^2 k_B^4}{15 \hbar^3 c^3}$$

En términos de la constante de Stefan-Boltzmann $\sigma$, el flujo de energía radiante por unidad de área (emitancia) es $j = \sigma T^4$, con $\sigma = a c/4 = 2\pi^5 k_B^4 / (15 h^3 c^2) = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$.

Verificación experimental

La dependencia en $T^4$ fue descubierta empíricamente por Josef Stefan en 1879 a partir de datos del físico irlandés John Tyndall, y derivada termodinámicamente por Ludwig Boltzmann en 1884, antes del trabajo de Planck. La constante $\sigma$ fue medida con precisión creciente durante el siglo XX, confirmando el valor teórico.

5. Ley de desplazamiento de Wien

La distribución espectral de Planck $u(\lambda, T)$ presenta un máximo para una cierta longitud de onda $\lambda_{\max}$ que depende de la temperatura. La condición $\partial u/\partial \lambda = 0$ conduce a la ecuación trascendente:

$$5 - x = 5 e^{-x}, \qquad x \equiv \frac{h c}{\lambda k_B T}$$

Cuya solución numérica es $x \approx 4.965114231\ldots$ De aquí se obtiene la ley de desplazamiento de Wien:

$$\lambda_{\max} T = \frac{h c}{4.965\, k_B} = 2.898 \times 10^{-3}\,\mathrm{m \cdot K}$$

Esta ley explica por qué los objetos a temperatura ambiente ($T \approx 300\,\mathrm{K}$) emiten en el infrarrojo ($\lambda_{\max} \approx 10\,\mu\mathrm{m}$), mientras que el Sol ($T \approx 5800\,\mathrm{K}$) tiene su pico en el visible ($\lambda_{\max} \approx 500\,\mathrm{nm}$, verde-amarillo).

6. La catástrofe ultravioleta

Antes de Planck, la física clásica abordaba la radiación de cuerpo negro mediante el teorema de equipartición: cada modo electromagnético debía tener una energía promedio $k_B T$. La densidad espectral clásica de Rayleigh-Jeans (1900, corregida por Jeans en 1905) era:

$$u_{\text{RJ}}(\omega, T) = \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3}\, k_B T$$

El problema catastrófico es evidente al integrar sobre todas las frecuencias:

$$u_{\text{RJ}}(T) = \int_0^\infty \frac{\omega^2 k_B T}{\pi^2 c^3}\,\mathrm{d}\omega \;\longrightarrow\; \infty$$

La densidad total de energía diverge: un cuerpo negro clásico emitiría una cantidad infinita de energía ultravioleta, en contradicción flagrante con la experiencia. Paul Ehrenfest acuñó el término «catástrofe ultravioleta» en 1911.

Cómo Planck resolvió la catástrofe

La hipótesis cuántica $E = \hbar \omega$ suprime la contribución de los modos de alta frecuencia: cuando $\hbar \omega \gg k_B T$, el factor de Boltzmann $e^{-\beta \hbar \omega} \ll 1$ hace que la ocupación media $\langle n \rangle \approx e^{-\beta \hbar \omega}$ decaiga exponencialmente, en contraste con la predicción clásica $\langle n \rangle_{\text{cl}} = k_B T / \hbar \omega$ que diverge como $\omega^{-1}$ al integrar. La cuantización de la energía congela los modos de alta frecuencia.

7. Presión de radiación

A partir de la función de partición gran canónica para un gas de bosones con $\mu = 0$, el logaritmo de la gran función de partición por modo es:

$$\log \Xi = -\sum_{\mathbf{k},\,\text{pol}} \log\!\left(1 - e^{-\beta \hbar \omega_k}\right) = -\frac{V}{\pi^2 c^3} \int_0^\infty \omega^2 \log\!\left(1 - e^{-\beta \hbar \omega}\right)\mathrm{d}\omega$$

La presión se obtiene de la relación termodinámica $P = (k_B T / V) \log \Xi$. Integrando por partes y reconociendo la densidad de energía $u(T)$:

$$P = \frac{k_B T}{\pi^2 c^3} \int_0^\infty \frac{\omega^2}{e^{\beta \hbar \omega} - 1}\,\frac{\hbar \omega}{3}\,\mathrm{d}\omega = \frac{u(T)}{3} = \frac{a T^4}{3}$$

La ecuación de estado del gas de fotones es, por tanto:

$$P = \frac{1}{3}\,\frac{U}{V}$$

Esta relación es análoga a la de un gas ultra-relativista clásico, donde la traza del tensor de energía-momento $T^\mu_\mu = u - 3P = 0$ refleja la invariancia conforme de la electrodinámica clásica (la traza del tensor de energía-momento electromagnético es nula). La radiación isotrópica ejerce una presión igual a un tercio de su densidad de energía.

Implicaciones astrofísicas

La presión de radiación es la responsable de sostener estrellas masivas contra el colapso gravitatorio en las etapas finales de su evolución. En el límite de Eddington, la presión de radiación sobre el plasma iguala la atracción gravitatoria, determinando la luminosidad máxima de una estrella de masa $M$: $L_{\text{Edd}} \approx 1.3 \times 10^{31}\,(M/M_\odot)\;\mathrm{W}$.

Cuestionario de Autoevaluación

1. ¿Cuál es el potencial químico de los fotones en equilibrio térmico dentro de una cavidad?

2. ¿Cuántas polarizaciones independientes tiene un fotón libre (masa nula)?

3. La densidad de estados por unidad de frecuencia $g(\omega)$ para fotones en 3D es proporcional a:

4. En el límite de baja frecuencia ($\hbar\omega \ll k_B T$), la ley de Planck se reduce a:

5. La ley de Stefan-Boltzmann establece que la densidad de energía total $u(T)$ es proporcional a:

6. El valor aproximado de la constante de Stefan-Boltzmann $\sigma$ es:

7. La ley de desplazamiento de Wien establece que $\lambda_{\max} T$ es aproximadamente:

8. ¿Cuál era el problema fundamental de la «catástrofe ultravioleta» en la teoría clásica de Rayleigh-Jeans?

9. La presión de radiación $P$ de un gas de fotones en equilibrio se relaciona con la densidad de energía $u$ mediante:

10. ¿Por qué los fotones obedecen la estadística de Bose-Einstein y no la de Fermi-Dirac?