Capítulo 8
1. Electrones como gas de Fermi
En un metal, los electrones de conducción se deslocalizan y pueden tratarse, en primera aproximación, como un gas ideal de fermiones confinado en el volumen del cristal. El modelo del electrón libre (Sommerfeld, 1928) ignora la interacción electrón-electrón y el potencial periódico de la red, pero captura la esencia del comportamiento cuántico debido al principio de exclusión de Pauli.
Los electrones tienen espín $s = 1/2$, lo que les otorga un factor de degeneración $g_s = 2$ (dos proyecciones de espín: $\uparrow$ y $\downarrow$). Por ser fermiones, obedecen la distribución de Fermi-Dirac:
donde $\beta = 1/(k_B T)$ y $\mu$ es el potencial químico. A temperatura cero, $\mu(T = 0) \equiv \varepsilon_F$, la energía de Fermi.
¿Por qué un gas ideal?
En metales alcalinos como el sodio o el potasio, el radio de Wigner-Seitz es $r_s \approx 3-5$ (en unidades del radio de Bohr), lo que implica que la energía cinética de Fermi domina sobre la energía de interacción coulombiana. La teoría del líquido de Fermi de Landau justifica que, a baja energía, las excitaciones se comportan como cuasipartículas débilmente interactuantes.
2. Energía de Fermi y vector de onda de Fermi
En una caja de volumen $V = L^3$ con condiciones periódicas, los estados de partícula única son ondas planas con vector de onda $\mathbf{k} = (2\pi/L)(n_x, n_y, n_z)$. Cada estado ocupa un volumen $(2\pi/L)^3$ en el espacio recíproco. Incluyendo la degeneración de espín, el número de estados con $|\mathbf{k}| \leq k_F$ es:
Despejando $k_F$ en términos de la densidad electrónica $n = N/V$:
La energía de Fermi para electrones libres con relación de dispersión $\varepsilon = \hbar^2 k^2 / (2m)$ es:
También se definen cantidades asociadas: la velocidad de Fermi $v_F = \hbar k_F / m$ y el momento de Fermi $p_F = \hbar k_F$. Para el cobre ($n \approx 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$), se obtiene $k_F \approx 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$, $\varepsilon_F \approx 7.0\,\mathrm{eV}$, y $v_F \approx 1.57 \times 10^6\,\mathrm{m/s}$ (aproximadamente $0.5\%$ de la velocidad de la luz).
| Metal | $n$ $(10^{28}\,\mathrm{m^{-3}})$ | $k_F$ $(\mathrm{\mathring{A}^{-1}})$ | $\varepsilon_F$ $(\mathrm{eV})$ | $T_F$ $(10^4\,\mathrm{K})$ |
|---|---|---|---|---|
| Li | 4.70 | 1.12 | 4.74 | 5.51 |
| Na | 2.65 | 0.92 | 3.24 | 3.77 |
| Cu | 8.47 | 1.36 | 7.00 | 8.16 |
| Ag | 5.86 | 1.20 | 5.49 | 6.38 |
| Au | 5.90 | 1.21 | 5.53 | 6.42 |
| Al | 18.1 | 1.75 | 11.7 | 13.6 |
3. Temperatura de Fermi
La temperatura de Fermi se define como la temperatura equivalente a la energía de Fermi:
Para los metales típicos, $T_F \sim 10^4 - 10^5\,\mathrm{K}$. Esto significa que, a temperatura ambiente ($T \approx 300\,\mathrm{K}$), el parámetro de degeneración es:
El gas de electrones en un metal está, por tanto, profundamente degenerado: la inmensa mayoría de los electrones no pueden ser excitados térmicamente porque los estados de energía superior que podrían ocupar ya están llenos o requieren superar una brecha $\sim k_B T_F$. Solo una fracción $\sim T/T_F$ de los electrones cerca de la superficie de Fermi participa en los procesos térmicos y de transporte.
Contraste con gases clásicos
Un gas ideal clásico de electrones a densidad metálica y $T = 300\,\mathrm{K}$ tendría una longitud de onda térmica de de Broglie $\lambda_T = h/\sqrt{2\pi m k_B T} \approx 4.3\,\mathrm{nm}$, mucho mayor que la separación interelectrónica $n^{-1/3} \approx 0.23\,\mathrm{nm}$. El criterio de degeneración $n \lambda_T^3 \gg 1$ se satisface ampliamente, confirmando que la estadística clásica de Maxwell-Boltzmann es completamente inadecuada para describir los electrones en metales.
4. Gas de Fermi a $T = 0$
A temperatura cero, la función de Fermi-Dirac se convierte en una función escalón:
Todos los estados con energía menor que $\varepsilon_F$ están ocupados, y todos los estados con energía mayor están vacíos. La densidad de estados por unidad de energía (incluyendo el factor $g_s = 2$) es:
La energía total del estado fundamental se calcula integrando sobre todos los estados ocupados:
La presión del estado fundamental (presión de degeneración) se obtiene de la relación termodinámica $P_0 = -\partial E_0/\partial V|_N$. Como $\varepsilon_F \propto V^{-2/3}$, resulta:
Para el cobre, $P_0 \approx 2.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ (270 kbar). Esta enorme presión de degeneración es la que impide que los electrones colapsen sobre los núcleos y estabiliza la materia condensada. En estrellas enanas blancas, es la presión de degeneración electrónica la que sostiene la estrella contra el colapso gravitatorio.
5. Gas de Fermi a baja temperatura: expansión de Sommerfeld
Para temperaturas finitas pero bajas ($k_B T \ll \varepsilon_F$), la función de Fermi-Dirac se «suaviza» en un entorno $\sim k_B T$ alrededor de $\varepsilon_F$. Las integrales que involucran $f(\varepsilon)$ se evalúan mediante la expansión de Sommerfeld:
Aplicando esta expansión, se obtienen las correcciones térmicas al potencial químico:
Y a la energía total:
El término principal de la corrección es cuadrático en $T$, proveniente de la excitación térmica de electrones desde estados por debajo de $\varepsilon_F$ hacia estados por encima de ella, en una franja de ancho $\sim k_B T$.
6. Calor específico electrónico
Derivando la expresión de Sommerfeld para $E(T)$ respecto a la temperatura se obtiene el calor específico electrónico a volumen constante:
donde la constante de Sommerfeld $\gamma$ vale:
Para el cobre, $\gamma_{\text{teo}} \approx 0.50\,\mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$. El valor experimental es $\gamma_{\text{exp}} \approx 0.695\,\mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$; la diferencia se atribuye a la interacción electrón-fonón y a efectos de banda (la masa efectiva $m^*$ difiere de $m_e$). En la teoría del líquido de Fermi de Landau, $\gamma \propto m^*$, por lo que la medición de $\gamma$ proporciona una estimación directa de la masa efectiva.
Éxito del modelo de Sommerfeld
Antes de Sommerfeld, el modelo clásico de Drude (1900) predecía $C_V^{\text{el}} = (3/2) N k_B$, independiente de $T$ y tres órdenes de magnitud mayor que el valor medido. El modelo de Sommerfeld resolvió esta discrepancia: solo la fracción $\sim T/T_F \sim 10^{-2}$ de los electrones contribuye al calor específico, reduciéndolo en ese mismo factor y dando además la dependencia lineal en $T$ observada experimentalmente.
7. Comparación con el calor específico de la red
A baja temperatura, el calor específico total de un metal es la suma de las contribuciones electrónica y de la red cristalina (fonones). En el modelo de Debye, la contribución fonónica a $T \ll \theta_D$ es:
donde $\theta_D$ es la temperatura de Debye ($\theta_D \approx 343\,\mathrm{K}$ para el cobre). El calor específico total resulta:
Dividiendo por $T$, se obtiene una relación lineal:
Graficando $C_V/T$ vs $T^2$, la ordenada al origen da $\gamma$ (contribución electrónica) y la pendiente da $\beta$ (contribución fonónica). A temperaturas suficientemente bajas ($T \lesssim 1\,\mathrm{K}$), el término lineal domina sobre el cúbico, permitiendo aislar experimentalmente la contribución electrónica.
Temperatura de cruce
La temperatura $T_c$ para la cual ambas contribuciones se igualan satisface $\gamma T_c = \beta T_c^3$, es decir, $T_c = \sqrt{\gamma/\beta}$. Para un metal típico, $T_c \sim 1-10\,\mathrm{K}$. Por debajo de $T_c$, el calor específico electrónico es la contribución dominante, un hecho de gran importancia en física de bajas temperaturas y en el estudio de superconductores y sistemas fuertemente correlacionados.