Ecuaciones Diferenciales

Con Aplicaciones a la Mecánica Clásica y Cuántica

Este curso presenta la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias con un enfoque orientado a la física. Desde las técnicas elementales de primer orden hasta los sistemas hamiltonianos y la ecuación de Schrödinger, cada capítulo combina el rigor matemático con aplicaciones concretas. Se abordan los formalismos de Lagrange y Hamilton, la transformada de Laplace, la estabilidad de soluciones, el método de series de potencias y una introducción a las ecuaciones en derivadas parciales, cerrando con la conexión natural hacia los espacios de Hilbert.

Índice de Capítulos

Capítulo 1

Introducción a las EDOs

Definición, orden, linealidad. Problemas de valor inicial. Motivación física: caída libre, desintegración radiactiva.
Capítulo 2

EDOs de Primer Orden

Ecuaciones separables, lineales, exactas, factor integrante, Bernoulli. Aplicaciones: enfriamiento, mezclas, circuitos RC.
Capítulo 3

EDOs Lineales de Orden Superior

Coeficientes constantes, ecuación característica, Wronskiano. Oscilador armónico simple.
Capítulo 4

EDOs No Homogéneas y Mecánica Lagrangiana

Coeficientes indeterminados, variación de parámetros. Ecuaciones de Euler-Lagrange, principio de mínima acción.
Capítulo 5

Sistemas de EDOs y Mecánica Hamiltoniana

Forma matricial, autovalores, planos de fase. Ecuaciones de Hamilton, espacio de fases, corchetes de Poisson.
Capítulo 6

Transformada de Laplace

Definición, propiedades, inversa, convolución. Delta de Dirac, función escalón. Sistemas masa-resorte.
Capítulo 7

Existencia, Unicidad y Estabilidad

Picard-Lindelöf, iteraciones, prolongación. Estabilidad de Lyapunov en sistemas hamiltonianos.
Capítulo 8

Soluciones en Series de Potencias

Puntos ordinarios, método de Frobenius. Funciones especiales: Bessel, Legendre, Hermite, Laguerre.
Capítulo 9

Introducción a Ecuaciones en Derivadas Parciales

Clasificación, separación de variables. Ecuaciones del calor, onda, Laplace. Series de Fourier.
Capítulo 10

Mecánica Cuántica y Conexión con Hilbert

Cuantización canónica, ecuación de Schrödinger, oscilador cuántico. Notación de Dirac, operadores en espacios de Hilbert.

Bibliografía Recomendada

  • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
    Boyce, W. E. & DiPrima, R. C.
    Wiley, 11th ed., 2017.
  • A First Course in Differential Equations with Modeling Applications
    Zill, D. G.
    Cengage Learning, 11th ed., 2018.
  • Differential Equations with Applications and Historical Notes
    Simmons, G. F.
    CRC Press, 3rd ed., 2016.
  • Ordinary Differential Equations
    Arnold, V. I.
    MIT Press, 1978.
  • Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos
    Hirsch, M. W., Smale, S. & Devaney, R. L.
    Academic Press, 3rd ed., 2013.
  • Ordinary Differential Equations
    Tenenbaum, M. & Pollard, H.
    Dover Publications, 1985.
  • Ordinary Differential Equations
    Ince, E. L.
    Dover Publications, 1956.
  • Theory of Ordinary Differential Equations
    Coddington, E. A. & Levinson, N.
    McGraw-Hill, 1955.
  • Classical Mechanics
    Goldstein, H., Poole, C. & Safko, J.
    Addison-Wesley, 3rd ed., 2001.
  • Mechanics
    Landau, L. D. & Lifshitz, E. M.
    Butterworth-Heinemann, 3rd ed., 1976.